Cours du 15 mars 2017 : nombres complexes + ln()   [répertoire]

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  • révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S)
• complexes :
  • forme algébrique ou cartésienne : z = x + i y
    avec x = r cos(α)   et   y = r sin(α)
    intéressant pour additionner des complexes : (x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
  • forme trigonométrique : z = r (cos(α) + i sin(α))
    où : r = √x² + y²
    α = atan(y/x)   ou   atan(y/x) + π
    α = ± acos(x/r)
    α = asin(y/r)   ou   π − asin(y/r)
    la calculatrice permet de passer d'une forme à l'autre : (a+ib) ↔ (r∠θ)
  • forme exponentielle : z = r e^{i α}
    intéressant pour multiplier des complexes : r₁ e^{i α₁} × r₂ e^{i α₂} = r₁ r₂ e^{i (α₁ + α₂)}
• logarithme népérien : résolution d'équations avec une exponentielle : e^x = x³
  • On dit que e^x croît plus vite que x³ quand x → ∞
    pourtant, on voit que x³ passe au-dessus de e^x avant 3.
    question : quand e^x repasse-t-il au-dessus de x³ ?
  • On prend le log népérien de : e^x = x³
    ln(e^x) = ln(x³)
    on applique la propriété des log : ln(a^b) = b ln(a)
    x ln(e) = 3 ln(x)
    or ln(e) = 1   (remarque : ln(1) = 0)
    on va donc résoudre l'équation : f(x) = x − 3 ln(x) = 0   (qui a les mêmes solutions que e^x = x³)
  • étude de f(x) :
    domaine de définition : ] 0 ; ∞ [   (à cause de la fonction ln(x))
    signe de la dérivée : f '(x) = 1 − 3 / x = (x − 3) / x
  • limites et valeurs particulières :
    • quand x → 0 : lim f(x) = lim x − 3 ln(x) = 0 − (− ∞) = + ∞
    • quand x = 3 : f(x) = 3 − 3 ln(3) ≈ −0,30 < 0
    • quand x → ∞ : lim f(x) = lim x − 3 ln(x) = F.I.(∞ − ∞)
      rappel sur l'ordre des croissances : e^x > x³ > x² > x > √x > ³√x > ln(x)
      on met la fonction la plus croissante en facteur : x   alors ln(x)/x → 0
      lim f(x) = lim x (1 − 3 ln(x)/x) = ∞ (1 − 0) = ∞

    x	0		3		∞
    x − 3	||	−	0	+
    x	||	+	+	+
    f '(x)	||	−	0	+
    f(x)	||	∞ ↓ décroît	0,3	croît ↑ ∞

  • La fonction f(x) est continue sur ]0;∞[ car formée de 2 fonctions continues : x et ln(x) sur cet intervalle.
    pour x = 1 : f(1) = 1 − 3 ln(1) = 1 > 0
    pour x = 3 : f(3) = 3 − 3 ln(3) ≈ −0,30 < 0
    l'application du TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires)
      permet d'affirmer qu'il existe une solution α (1 < α < 3) telle que f(α) = 0
    par ailleurs, pour x = 6 : f(6) = 6 − 3 ln(6) ≈ 0,62 > 0
    l'application du TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires)
      permet d'affirmer qu'il existe une solution β (3 < β < 6) telle que f(β) = 0
  • en conclusion : la fontion e^x recoupe la fonction x³ pour l'abscisse β
    encadrement de la valeur β : 4,53 < β < 4,54 car f(4,53)≈−0.0022 < 0 < f(4,54)≈0.0012
• résolution d'inéquations :
  • On voudrait savoir à partir de quelle valeur de n la suite géométrique 0,8ⁿ aura convergé à 10⁻⁵ près
    c'est à dire : 0,8ⁿ < 10⁻⁵
    comme ln(x) est croissante : a < b ⇔ ln(a) < ln(b)
    ln(0,8ⁿ) < ln(10⁻⁵)
    n ln(0,8) < −5 ln(10)
  • ATTENTION : ln(0,8) ≈ −0,22 < 0 car 0,8 < 1 ! changement du sens de l'inéquation
    rappel : ln(x) < 0 pour x < 1
    n ln(0,8) /ln(0,8) > −5 ln(10) / ln(0,8)
  • n > −5 ln(10) / ln(0,8) ≈ 51,6
    n étant un entier : n ≥ 52
  • vérification : 0,8⁵¹ ≈ 0,000011 > 10⁻⁵ > 0,8⁵² ≈ 0,0000091

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