Cours du 22 mars 2017 : nombres complexes + Newton   [répertoire]

• Pour préparer les exercices avec le site : www.lyceedadultes.fr
  • révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S)
• complexes :
  • forme algébrique ou cartésienne : z = x + i y
    avec x = r cos(α)   et   y = r sin(α)
    intéressant pour additionner des complexes : (x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
  • forme trigonométrique : z = r (cos(α) + i sin(α))
    où : r = √x² + y²
    α = atan(y/x)   ou   atan(y/x) + π
    α = ± acos(x/r)
    α = asin(y/r)   ou   π − asin(y/r)
    la calculatrice permet de passer d'une forme à l'autre : (a+ib) ↔ (r∠θ)
  • forme exponentielle : z = r e^{i α}
    intéressant pour multiplier des complexes : r₁ e^{i α₁} × r₂ e^{i α₂} = r₁ r₂ e^{i (α₁ + α₂)}
    diviser des complexes : (r₂ e^{i α₂}) / (r₁ e^{i α₁}) = (r₂ / r₁) e^{i (α₂ − α₁)}
    pour les puissances : (r e^{i α})ⁿ = rⁿ e^{i n α}
  • application pour les racines 6^èmes de l'unité : z⁶ = 1 = e^{0 + i k 2 π}   ⇒   z = e^{i k 2 π / 6} = e^{i k π / 3} avec k ∈ [[ 0 ; 5 ]]
    solutions sous forme cartésienne : { 1 ; (1+i√3)/2 ; (−1+i√3)/2 ; −1 ; (−1−i√3)/2 ; (1−i√3)/2 }
  • racines 4^èmes de l'unité : z⁴ = 1 : { 1, i, −1, −i } = e^{i k π/2} avec k ∈ {0, 1, 2, 3}
    i = e^iπ/2   et   −1 = e^{i π}
  • développement de cos(nθ) et sin(nθ) : e^{i n α} = (e^{i α})ⁿ
    cos(n θ) + i sin(n θ) = [cos(θ) + i sin(θ)]ⁿ
    cas n = 2 : cos(2 θ) + i sin(2 θ) = [cos(θ) + i sin(θ)]² = cos²(θ) − sin²(θ) + 2 i cos(θ) sin(θ)
    égalité des parties réelles : cos(2 θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
    égalité des parties imaginaires : sin(2 θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
    cas n = 3 : cos(3 θ) + i sin(3 θ) = [cos(θ) + i sin(θ)]³
    cos(3 θ) + i sin(3 θ) = cos³(θ) + 3 cos²(θ) i sin(θ) + 3 cos(θ) i² sin²(θ) + i³ sin³(θ)
    cos(3 θ) + i sin(3 θ) = cos³(θ) + 3 i cos²(θ) sin(θ) − 3 cos(θ) sin²(θ) − i sin³(θ)
    parties réelles : cos(3 θ) = cos³(θ) − 3 cos(θ) sin²(θ) = cos(θ) [cos²(θ) − 3 sin²(θ)]
    parties imaginaires : sin(3 θ) = 3 cos²(θ) sin(θ) − sin³(θ) = sin(θ) [3 cos²(θ) − sin²(θ)]
  • Cercle de centre M₀(z₀) et de rayon R : | z − z₀ | = R
  • rotation de centre O(z=0) de l'angle α : z → z e^{i α}
    angle entre 2 vecteurs de z₁ à z₂ = Arg(z₂ / z₁)
• Newton :
  • Un vecteur (poids, réaction du support) est un objet physique, indépendant du repère choisi.
    par contre, ses coordonnées dépendent du repère choisi.
  • skieur sur une pente d'angle α   (pas de frottements)
    
    • repère R1 (Ox horizontal, Oy vertical) : P=(0, −mg) ; N= mg cosα (−sinα ; cosα)
      coordonnées plus compliquées : F = P + N = mg (− cosα sinα ; −1 + cos²α) = −mg sinα (cosα ; sinα)
    • repère R2 (Ox selon la pente, Oy selon la verticale à la pente) : P= −mg(sinα ; cosα) ; N = (0 ; mg cosα)
      coordonnées les plus simples : F = P + N = mg (− sinα ; 0)
    • Il vaut mieux choisir le repère R2 car F et N sont simples dans ce repère.
• Effet Döppler : objet qui émet une onde (son ou lumière) qui se propage à la célérité c.
  • un objet qui se rapproche à la vitesse v (< c) l'émission à t0 doit parcourir x0 ;
    l'émission à t0+T doit parcourir x0−vT, elle rattrape en partie la première onde :
    la période T de l'onde reçue < T (de même pour λ = c T) et l'inverse pour f = 1/T : f reçue > f
    (le son est plus aigü ; la lumière visible est décalée vers le bleu ou l'UV)
  • un objet qui s'éloigne à la vitesse v (< c) l'émission à t0 doit parcourir x0 ;
    l'émission à t0+T doit parcourir x0+vT, elle prend du retard sur la première onde :
    la période T de l'onde reçue > T (de même pour λ = c T) et l'inverse pour f = 1/T : f reçue < f
    (le son est plus grave ; la lumière visible est décalée vers le rouge ou l'IR)

retour aux menus : cours 2016     math TS     math