Cours du 29 mars 2017 : intégrales   [répertoire]

• Pour préparer les exercices avec le site : www.lyceedadultes.fr
  • révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S)
• définition F = primitive de f : ∫ f(x) dx = F(x)   ⇔   F '(x) = f(x)

  dérivation				intégration (+ constante)
  F(x)	→	f(x)		f(x)	→	F(x)
  xn	→	n xn−1		xn	→	xn+1 / (n+1)
  x3	→	3 x2		x2	→	x3 / 3
  x2	→	2 x		x	→	x2 / 2
  x	→	1		1	→	x
  1	→	0		0	→	1
  1 / x	→	−1 / x2		1 / x2	→	−1 / x
  1 / x2	→	−2 / x3		1 / x3	→	−1 / (2 x2)
  ln(x)	→	1 / x		1 / x	→	ln(x)
  ex	→	ex		ex	→	ex
  sin x	→	cos x		cos x	→	sin x
  cos x	→	−sin x		sin x	→	−cos x

• Aire sous la courbe f(x) sur l'intervalle [a ; b] :
  I = ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)
  encadrement de la surface avec des carreaux
• fonctions avec des valeurs absolues : exemple f(x) = |x − 2| + |x + 3|
  calculer ∫₋₅⁵ f(x) dx
  faire un tableau de signes : valeurs 2 et −3

  x	−∞		−3		2		∞
  x − 2	−		−	−	0	+
  x + 3	−		0	+	+	+
  |x − 2|	2 − x		5	2 − x	0	x − 2
  |x + 3|	−x − 3		0	x + 3	5	x + 3
  f(x)	2 − x − x − 3		2 − x + x + 3			x − 2 + x + 3
  f(x)	− 2 x − 1		5			2 x + 1
  F(x)	− x2 − x		5 x			x2 + x

  I = ∫₋₅⁵ f(x) dx = ∫₋₅⁻³ − 2 x − 1 dx + ∫₋₃² 5 dx + ∫₂⁵ 2 x + 1 dx
  I = [− x² − x]₋₅⁻³ + [5 x]₋₃² + [x² + x]₂⁵
  I = [− (−3)² − (−3)] − [− (−5)² − (−5)] + [5 (2)] − [5 (−3)] + [5² + 5] − [2² + 2]
  I = [− 9 + 3] − [−25 +5] + 10 + 15 + [25 + 5] − [4 + 2]
  I = − 6 − [−20] + 25 + 30 − 6
  I = − 6 + 20 + 25 + 30 − 6 = 75 − 12 = 63
• Remarques sur l'exercice :
  • 1) bien différentier valeur absolue | | et parenthèses ( )
  • tableau de signes : pour N valeurs particulières : N+1 colonnes, répéter les signes.

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