Cours du 05 avril 2017 : révisions   [répertoire]

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  • révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S en 42 pages)
  • exercices de BAC sélectionner le thème de l'exercice dans la colonne de gauche
• propriétés des logarithmes :
  • notation : quand il n'y a qu'un seul argument, on peut omettre les parenthèses : ln x = ln(x) ; mais ln(x+2) ≠ ln x + 2 (ambigü)
    comme pour sin α = sin(α) mais sin(2π)
  • addition : ln(x+y) pas de propriété particulière
  • multiplication/division : ln(x y) = ln(x) + ln(y)
    d'où : ln(1/x) = − ln(x) ; ln(x³) =ln(x.x.x) = ln(x) + ln(x) + ln(x) = 3 ln(x)
  • puissance : ln(xⁿ) = n ln(x)
  • ln est une fonction croissante   ⇒   A < B   ⇔   ln(A) < ln(B)
• propriétés des exponentielles :
  • notations : exp(x) = e^x
  • addition : e^x+y = e^x e^y
    e^2x = e^{x + x} = e^x e^x = (e^x)²
  • multiplication : e^{x y} = (e^x)^y
  • puissance : e^(xy) pas de propriété particulière
  • exp est une fonction croissante   ⇒   A < B   ⇔   exp(A) < exp(B)
• propriétés des fonctions trigo. :
  • équation : x = cos(x) : x est exprimé en radians
    on étudie la variation de la fonction f(x) = x − cos(x)     (toujours comparer à 0)
    f '(x) = 1 + sin(x)     −1 ≤ sin(x) ≤ 1   ⇒   2 ≥ f '(x) ≥ 0
    fonction continue croissante : TVI : f(0) = −1 < 0 < f(π/2) = π/2 ⇒ 0 < solution < π/2
    à la calculatrice, on cherche le 0 de la fonction f(x) avec les angles en radians ≈ 0,739
    la solution à l'équation : x = cos(x) est ≈ 0,739
  • représentation graphique de la fonction f(x) : illustration du TVI

    en abscisse :	a=0	<	c≈0,739	<	π/2
    en ordonnée :	f(a)=−1	<	f(c)=0	<	f(b)=π/2

• récurrences :
  • exercice 1 du type bac de l'année 2004 : pourquoi on ne rajoute pas le "n+1" des deux côtés ?
    • la définition de la suite est : u_n+1 = u_n + 2n + 3
    • 1) pour démontrer que la suite est croissante, on étudie le signe de u_n+1 − u_n
      en utilisant la définition : u_n+1 − u_n = u_n + 2n + 3 − u_n = 2n + 3 qui est toujours positif pour n ≥ 0
    • 2) pour démontrer que u_n > n² :
    • init. : on vérifie que c'est vrai pour n=0 : u(0) = 1 qui est > 0² = 0
    • héritage : on admet que la propriété est vraie au rang n : u_n > n²
      on souhaite en déduire qu'elle est vraie au rang n+1 c'est-à-dire que l'on a la relation : u_n+1 > (n+1)² (objectif à démontrer)
      on utilise la définition : u_n+1 = u_n + 2n + 3 et l'hypothèse de récurrence : u_n > n²
      
      u_n+1 = u_n + 2n + 3 > n² + 2n + 3
      le terme de droite de l'objectif est (n+1)² = n² + 2n + 1 il est inférieur à n² + 2n + 3 donc à u_n+1
      
      on peut le démontrer plus rapidement en écrivant :
      u_n+1 > n² + 2n + 3 = (n² + 2n + 1) + 2 = (n+1)² + 2 > (n+1)²
• Math_BacS : 2016 métropole obligatoire exercice 3 partie A
  • rappel de l'énoncé : f(x) = x − ln(x² + 1)
  • 1) résoudre f(x) = x
    x − ln(x² + 1) = x
    on simplifie en soustrayant x de chaque côtés : − ln(x² + 1) = 0
    on élimine le signe "−" en multipliant par −1 : ln(x² + 1) = 0
    la fonction ln() est monotone : ln(x² + 1) = ln(1)   ⇔   x² + 1 = 1
    soit : x² = 0 donc x = 0 solution de f(x) = x
  • 2) justifier les éléments du tableau : il ne faut pas en oublier
    domaine de variation : x² + 1 > 0 ⇒ ln(x² + 1) est toujours défini donc f(x) est définie sur R
    signe f '(x) : il faut factoriser f '(x) donc la calculer
    f (x) = x − ln(u) avec u = x² + 1 et u' = 2 x
    f '(x) = 1 − u' / u = 1 − 2 x / (x² + 1) = (x² + 1 − 2 x) / (x² + 1)
    on factorise le numérateur : en calculant les racines ou en remarquant qu'il s'agit d'une identité remarquable
    f '(x) = (x − 1)² / (x² + 1) qui est toujours > 0
    valeur de f '(1) = (1 − 1)² / (1² + 1) = 0 / 2 = 0
    valeur de f(−∞) = −∞ − ln(∞) = −∞
    la valeur de f(∞) est donnée infinie
  • 3) f étant croissante : f([0 ; 1]) = [f(0) ; f(1)] = [0 ; 1−ln(2)] ⊂ [0 ; 1]
    x ∈ [0 ; 1] ⇒ f(x) ∈ [0 ; 1−ln(2)] ≈ [0 ; 1−ln(2)] = [0 ; 0.3068528194400547] ⊂ [0 ; 1]
  • 4) la ligne Tant que : f(N) < A : on incrémente N tant que f(N) < A
    la boucle s'arrête quand f(N) ≥ A : le plus petit entier N tel que f(N) ≥ A
    4.b) f(N) ≥ 100 ⇒ N ≥ 109.389921 soit N ≥ 110
• partie B : u₀ = 1 ; u_n+1 = f(u_n)

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