Cours du 17 mai 2017 : révisions   [répertoire]

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  • révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S en 42 pages)
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• 13 sujets d'oraux
  1 à chaque cours
• exercices de révision
  • conversion degré ↔ radian : 1 tour = 360 × 1° = 2π × 1 rad
    ⇔   1° = (2π / 360) rad   et   1 rad = (360/(2π)) °
    x rad = (180 / π) y°   et   y° = (π / 180) x rad
    règle de trois car degrés et radians sont proportionnels :
      produit en croix : 2 π rad y° = 360° x rad   soit : π y = 180 x

    1 tour	=	2 π rad	=	360°	règle de trois car les ° et les rad sont proportionnels
    z tour	=	x rad	=	y°

  • vecteurs, géométrie 3d :
    • vecteur AB = point B − point A = vecteur OB − vecteur OA
    • montrer qu'un vecteur "n" est perpendiculaire à un plan :
      • 1) si l'on a l'équation du plan (ax+by+cz=d), le vecteur normal au plan est (a, b, c).
        il suffit que le vecteur "n" soit colinéaire au vecteur (a, b, c) : ∃ k tel que n = (ka, kb, kc)
      • 2) si l'on connaît 2 vecteurs indépendants du plan,
        il suffit que le vecteur "n" soit ⊥ aux 2 vecteurs du plan (il est alors ⊥ à tous les vecteurs du plan)
    • équation d'un plan dont on connaît le vecteur normal n=(a, b, c) et 1 point :
      le point doit vérifier l'équation, ce qui détermine "d"
    • équation d'une droite passant par un point A et de vecteur directeur n :
      2D ou 3D : en vecteur : OM = OA + k n
      on décompose cette équation vectorielle sur les 2 ou 3 axes : x = x_A + k n_x ; y = y_A + k n_y . . .
    • intersection d'une droite et d'un plan : le point (x, y, z) qui appartient au plan et à la droite.
  • suites
    • connaissances :
      • suites arithmétiques : u₀ et u_n+1 = u_n + r   ou   u_n = u₀ + n r
      • suites géométriques : u₀ et u_n+1 = q u_n   ou   u_n = u₀ qⁿ
      • suites arithmético-géométriques : u₀ et u_n+1 = q u_n + r
        limite possible : L = q L + r
        la suite v_n = u_n − L est géométrique de raison q ⇒ v_n = qⁿ v₀
      • suites : u₀ et u_n+1 = f(u_n)
        tracé de la toile d'araignée ou de l'escalier avec la calculatrice
        limite possible : L = f(L)
    • méthodes : u_n+1 = f(u_n) avec f(x) est croissante
      démonstration par récurrence : u_n < u_n+1 ⇒ u_n+1 < u_n+2
      si u₀ < u₁ = f(u₀) ⇒ (u_n) est croissante
      si u₀ > u₁ = f(u₀) ⇒ (u_n) est décroissante
  • exp, ln
    • connaissances : exp et ln sont des fonctions croissantes
      • dérivée de e^u = e^u u'
        e^a+b = e^a × e^b
        D_exp = R = ] −∞ ; ∞ [   ;   e^x > 0 ∀ x ∈ R
      • dérivée de ln(u) = u' / u
        ln(a b) = ln(a) + ln(b)   ;   ln(aⁿ) = n ln(a)
        D_ln = ] 0 ; ∞ [   ;   ln(x) < 0 for x ∈ ] 0 ; 1 [   ;   ln(x) > 0 for x ∈ ] 1 ; ∞ [
    • méthodes :
  • complexes
    • connaissances : i² = −1
      • z = a + i b = r e^iθ = r (cos(θ) + i sin(θ))
      • |z| = r = √a² + b²
      • z = a − i b   ;   z z = a² + b² = r² = |z|²
      • angle(Ox,OM) = θ
    • méthodes : mettre une fraction sous la forme a + i b
      z = z₁ / z₂ = z₁ z₂/ |z₂|²
  • fonction intégration
    • connaissances :
      • g(x) = f(u)   →   df/dx = df/du × du/dx = f '(u) u'
        exemple : g(x) = f(u) = ln(x²+1) = ln(u)   avec u = x²+1
        df/du = f '(u) = 1 / u
        ⇒ g'(x) = dg/dx = df/dx = f '(u) u' = u' / u avec u = x²+1 donc u' = 2x
        f '(x) = 2 x / (x²+1)
      • dérivées avec u(x) : on remplace x par u et on multiplie par u'
        (e^u(x))' = e^u(x) u'(x)             (e^u)' = e^u u'
        (ln(u(x)))' = u'(x) / u(x)             (ln(u))' = u' / u
        (1 / u(x))' = − u'(x) / u²(x)             (1 / u)' = − u' / u²
      • étude de variation : calcul de la dérivée et factorisation
      • pour passer de f(x) = 1/ [1 + e^1−x] à e^x / [e^x + e]
        on doit multiplier le numérateur par e^x donc aussi le dénominateur par e^x
      • calculer une intégrale : il faut trouver la primitive (donc chercher si f(x) figure dans les dérivées connues)
        d'après le résultat fourni, on voit qu'il y a un ln( )
        la primitive peut donc être ln( ) dont la dérivée est u' / u
      • interprétation graphique des intégrales : aire sous la courbe.
      • démontrer qu'une suite d'intégrales est décroissante : la calculer comme on a fait.
        Mais on peut faire plus simple : démontrer que f_n(x) ≥ f_n+1(x)
        ⇒   ∫₀¹ f_n(x) dx ≥ ∫₀¹ f_n+1(x) dx
        Théorème : f(x) < g(x) et a < b   ⇒   ∫_a^b f(x) dx < ∫_a^b g(x) dx
      • une suite (ou fonction) a-t-elle une limite quand n (ou x) → ∞ ?
        • Théorème : si la suite (ou fonction) est décroissante minorée : elle converge nécessairement ( vers une limite ≥ minorant )
          u_n > u_n+1 > m   ⇒   (u_n) → L ≥ m
        • Théorème : si la suite (ou fonction) est croissante majorée : elle converge nécessairement ( vers une limite ≤ majorant )
          u_n < u_n+1 < M   ⇒   (u_n) → L ≤ M
    • méthodes :
      • justifier que le point B(2e ; 2) ∈ C_f avec f(x) = x ln(x/2) − x + 2
        remplacer x par 2e : faire attention f(2e) = 2e ln(e) − 2e + 2 = 2e − 2e + 2 = 2 soit l'ordonnée de B
      • justifier de la droite Ox est tangente à C_f au point I : 2 conditions
        • 1) le point I ∈ C_f
        • 2) la dérivée de f(x) au point I = coefficient directeur de la tangente proposée (ici 0)
      • calculer la tangente au point B : y = f '(a) × (x − a) + f(a)
      • on demande f₀ et u₀ : il faut déjà remplacer n par 0 dans f_n(x) : f₀(x) = 1
        fonction constante (donc de coeff. directeur = 0)
        et dans u_n : u₀ = ∫₀¹ f₀(x) dx = 1
      • recenser toutes les informations de l'énoncé + les résultats des questions précédentes.
        c'est en utilisant ces informations que l'on peut démontrer les résultats demandés
      • les premières questions sont faciles : c'est là que l'on peut assurer un minimum de points.
  • probabilités-stat.
    • connaissances :
    • méthodes :

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