Cours du 22 septembre 2017 : suites   [répertoire]

• suites arithmético-géométriques
• rappel sur la variation des fonctions
  • une fonction f(x) est croissante si sa dérivée f '(x) > 0
    exemple : f(x) = (2x+1) / (3x+2) = u/v avec D_f = R − {−2/3}
    ⇒ f '(x) = (u' v − u v') / v²
      f '(x) = (2 (3x+2) − 3 (2x+1)) / (3x+2)²
      f '(x) = 1 / (3x+2)² > 0 ∀ x ∈ D_f
  • propriété des fonctions croissantes ↗ : a < b ⇔ f(a) < f(b)
    de même, en échangeant a et b : a > b ⇔ f(a) > f(b)
  • remarque : fonctions ↘ : a < b ⇔ f(a) > f(b) mais f(a) > f(b) ⇔ f(f(a)) < f(f(b))
    le sens de variation est croissant pour la suite u_2n et décroissant pour la suite u_2n+1 (ou inversement)
    il y a 2 suites monotones à étudier.
• Application aux suites récurrentes : u_n+1 = f(u_n) avec f(x) ↗
  • sens de variation : si u₀ > u₁ ⇒ f(u₀) > f(u₁)       (ou u₁ − u₀ < 0)
    mais f(u₀) = u₁ . . . donc u₁ > u₂ . . .
    (raisonnement par récurrence . . .)
    si u_n > u_n+1 donc f(u_n) > f(u_n+1) soit : u_n+1 > u_n+2
    tous les termes suivants u₀ et u₁ ont le même sens de variation que les 2 premiers
  • inversement : si u₀ < u₁ ⇒ u_n < u_n+1
• Application à la limite L : cas f(x) ↗
  • L vérifie l'équation : L = f(L)
    si u_n > L donc f(u_n) > f(L) soit : u_n+1 > L
    la suite reste du même côté de la limite possible L
  • Si on a démontré que la suite (u_n) est décroissante et qu'elle se situe au-dessus de la limite,
    elle converge nécessairement. S'il n'y a pas d'autre limite entre la suite et L : elle converge vers L.
• terraformation de Mars : article de Wikipédia
  • il parle d'utiliser des bombes nucléaires pour diriger des astéroïdes vers Mars
    mais c'est une mauvaise idée :
    une bombe ferait exploser l'astéroïde, mais des débris continueraient sur la même trajectoire .
  • une petite force continue, en prenant le temps nécessaire :
    on peut utiliser de grandes voiles pour utiliser la pression de radiation du soleil.
    ou fixer un moteur ionique (nucléaire) à un "petit" astéroïde.

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