Cours du 13 octobre 2017 : limites   [répertoire]

• limite de f(x) = L quand x → ∞ :
  • f(x) se rapproche autant que l'on veut de L en prenant x suffisamment grand.
    traduction mathématique : ∀ ε ∃ A tel que x > A ⇒ |f(x) − L| < ε
    C'est cette définition précise qui permet de démontrer que :
      la limite de la somme de 2 fonctions est la somme de leurs limites . . .
    et la même chose pour les autres opérations arithmétiques,
      si le résultat n'aboutit pas à une forme indéterminée.
  • formes indéterminées :
    • ∞ − ∞ pour l'addition
      exemple : f(x) = √x+1 − √x−1 ; x → ∞
      f(x) = [ x+1 − (x−1) ] / [√x+1 + √x−1] = 2 / [√x+1 + √x−1] → 0
    • 0 × ∞ pour la multiplication ; qui peut aussi s'écrire 0/0 ou ∞/∞
      exemple : f(x) = (x² + 1) / (2 x² + 5 ) = (1 + 1/x²) / (2 + 5/x²) → 1/2
    • 1^∞ ; ∞⁰ ; 0⁰ pour la puissance ou l'exponentielle
  • divergence vers l'infini : limite de f(x) = +∞
    f(x) dépasse tout nombre M en prenant x suffisamment grand.
    traduction mathématique : ∀ M ∃ A tel que x > A ⇒ f(x) > M
  • pour calculer la limite d'une somme, on met en facteur le terme de plus haut degré.
    exemple : lim a x⁵ + b x = lim x⁵ ( a + b / x⁴ )
    x⁵ → ∞ et ( a + b / x⁴ ) → a + 0 = a
    réponse : a x⁵ + b x diverge/tend vers +∞ quand x → +∞
    que l'on écrit : lim a x⁵ + b x = +∞
    la limite n'est plus dans R, mais R ∪ {−∞,+∞} : R avec les points de l'infini.
  • limite d'un quotient :
    on met en facteur les termes de plus haut degré des numérateur et dénominateur
    on simplifie ces termes.
    exemple : lim (4 x⁵ + 3) / (3 x⁵ + x⁴) = 4/3
  • remarque : 2^x croît plus vite que xⁿ ∀ n
    si q > 1 : q^x croît plus vite que xⁿ (quand x → ∞)
      ce qui signifie : xⁿ / q^x → 0 (quand x → ∞)
• limite de f quand x → a ; continuité :
  • si une fonction est dérivable en a : elle est continue et lim f(x) = f(a) (quand x → a)
  • Quand une fonction est définie par morceaux, elle peut être discontinue au raccordement.
  • exemple : f(x) = x / |x| est indéterminée en x=0
    si on la définie par f(0) = 1, elle sera continue à droite de 0
    mais discontinue à gauche de 0 : lim f(x) = −1 à gauche (quand x → 0 avec x < 0)
    remarque : c'est la dérivée de |x| : |x|' = x / |x| sur R − {0}
  • sa représentation graphique présente un saut de −1 à 1 en x=0
• exemple : limite de sin(x)/x quand x → 0 :
  • sin(x) < x < tan(x) pour x ∈ ] 0 ; π/2 [   (visible graphiquement)
  • 1 < x / sin(x) < 1 / cos(x)
  • cox(x) → 1 donc 1 / cos(x) → 1
  • x / sin(x) → 1 d'après le théorème des gendarmes
    on a donc aussi : sin(x) / x → 1
  • remarque : définition de f par continuité :
    la fonction f définie par :
    f(x) = sin(x)/x pour x ≠ 0 et f(0) = 1 est continue en x=0 (et sur R)
• Asymptotes :
  • verticales (x=a) : quand on divise par 0 (et que le numérateur ne tend pas vers 0)
  • horizontales (y=b) : quand f(x) → b pour x → ∞
    il peut y avoir un asymptote horizontale à gauche ≠ asymptote à droite
  • inclinées (y=ax+b) si : f(x) − (ax+b) → 0
    si f(x) = a x + b + h(x) avec h(x) → 0 quand x → ∞
    alors f admet une asymptote oblique y = a x + b quand x → ∞
• Continuité :
  f(x) est continue en a si : lim f(x) quand x → a = f(a)
  Une fonction est continue sur un intervalle I si on peut la tracer sans lever le crayon.
  en particulier : pas de point à l'infini
• T.V.I. = Théorème des Valeurs Intermédiaires :
  • si une fonction f est continue sur ] a ; b [
    et que f(a) < λ et λ < f(b)
    alors f(x) prend au moins une fois la valeur λ pour x ∈ ] a ; b [
  • si la fonction f est continue et monotone sur ] a ; b [
    et que λ ∈ f(]a ; b[)
    alors il existe α ∈ ]a ; b[ unique tel que f(α) = λ
  • exemple : nombre de solutions à l'équation sin(x) + x = 5
    f(x) = sin(x) + x → f '(x) = cos(x) + 1 ≥ 0
    f '(x) = 0 pour cos(x) = −1 ⇔ x = π + 2 k π = (2k+1) π
    f(π) = π < 5
    f(3 π) = 3 π > 5
    f est strictement croissante sur ]π ; 3 π[
    d'après le T.V.I., il existe un nombre unique α ∈ ]π ; 3π[ tel que f(α) = 5
    en calculant α par dichotomie, on trouve α ≈ 5.617555

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