Cours du 10 novembre 2017 : étude de fonction

Cours du 10 novembre 2017 : étude de fonction [répertoire]

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étude de la fonction : f(x) = √1+x

réviser les dérivées (faire des fiches pour le BAC . . . et après)
tout sur les dérivées
tangente en x=0 :
- équation de la tangente en x=a : y = f '(a) (x − a) + f(a)
- f(x) = √1+x = √u avec u = 1+x → u'=1
  f(0) = 1
  f '(x) = u' / (2 √u) = 1 / (2 √1+x)
  f '(0) = 1/2
- autre approche :
  f(x) = (1+x)^1/2 = u^1/2 → f '(x) = (1/2) u^(1/2)−1 u' = (1/2) u^−1/2 u'
  f '(x) = (1/2) (1+x)^−1/2 = 1 / (2 √1+x)
  f ''(x) = (1/2) (−1/2) u^−1/2−1 u' = −(1/4) u^−3/2 = −(1/4) (1+x)^−3/2
  f '''(x) = −(1/4) (−3/2) u^−3/2−1 u' = (3/8) u^−5/2 = (3/8) (1+x)^−5/2
  . . . (easy! no?)
- équation de la tangente : y = f '(0) (x − 0) + f(0) = x/2 + 1
  y = x/2 + 1

position de la courbe par rapport à sa tangente :

réviser les limites
on étudie la différence : h(x) = f(x) − y(x) = √1+x − (x/2 + 1)
nous n'avons besoin que du signe de h(x) :
si h(x) > 0 : f(x) > y(x) : la courbe est au-dessus de sa tangente
si h(x) < 0 : f(x) < y(x) : la courbe est au-dessous de sa tangente
méthode générale : pour trouver son signe, on étudie la fonction h(x)
h'(x) = f '(x) − (1/2) = 1 / (2 √1+x) − (1/2)
il faut déterminer le signe de h'(x) :
On étudie la fonction h'(x) : h'(x) = 1 / (2 u) − (1/2) avec u = √1+x
h''(x) = (1/2) (− u') / u² = (1/2) (− 1 / (2 √1+x)) / (1+x)
h''(x) = − (1/4) / √1+x³ ≤ 0

tableau de variation

h(x) ≤ 0 : la courbe C_f est au-dessous de sa tangente en x=0

Signe de la dérivée seconde : h''(x)
- si h''(x) > 0 : h(x) est convexe
  alors, elle se trouve au-dessus de sa tangente.
- si h''(x) < 0 : h(x) est concave
  alors, elle se trouve au-dessous de sa tangente.

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