Cours du 17 novembre 2017 : calculs   [répertoire]

• Ce fichier a été encodé en utf-8 avec gedit
  les navigateurs (récents) en sont informés par charset="utf-8" ex. ↘ ↗ √ ≤ 花 (fleur en chinois)
  super-ordinateur : tendance actuelle : regrouper des milliers d'unités centrales de PC en parallèle.
  python : langage interprété : facile à debugger.
  le réseau internet permet la communication entre tous les ordinateurs connectés de la planète.
• réviser les dérivées   (faire des fiches pour le BAC . . . et après)
  tout sur les dérivées
  f(x) = 1 / √u = 1 / v = u^−1/2
  • f '(x) = − v' / v² = − (u'/(2 √u)) / u = − (u'/(2 √u)) / u = −u' / (2 u √u)
  • f '(x) = (−1/2) u^−1/2−1 u' = −u' / (2 u^3/2) = −u' / (2 u √u)
• dérivée de f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x)   définie sur : I = ] −π/2 ; π/2 [
  • f(x) = u / v   (forme dont on connaît la dérivée) avec   u = sin(x) et v = cos(x)
    u' = cos(x) ; v' = − sin(x)
  •   ⇒   f '(x) = (u' v − u v') / v²
  • f '(x) = (cos(x) cos(x) − sin(x) (−sin(x))) / (cos(x))²
    f '(x) = (cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)) / cos²(x)
  • simplification : cos²(x) + sin²(x) = 1
    f '(x) = 1 / cos²(x)
  • vérificateur de dérivées
    f(x) = sin(x) / cos(x)
    f '(x) = 1 / pow(cos(x), 2)
    • calcul au point x0 = 0 →   bouton [Calculer (cases blanches)]
      f '(x₀) = 1.0000000000003333
      f '(x₀) = 1
      6 premiers chiffres identiques : ok
    • calcul au point x0 = 0.1 →   bouton [Calculer (cases blanches)]
      f '(x₀) = 1.0100670464197048
      f '(x₀) = 1.0100670464224948
      6 premiers chiffres identiques : ok
• dérivée de f(x) = cos(x) / sin²(x)   définie sur : I = ] 0 ; π [
  • f(x) = u / v   (forme dont on connaît la dérivée) avec   u = cos(x) et v = sin²(x)
    u' = − sin(x) ; v' = 2 sin(x) cos(x)
  •   ⇒   f '(x) = (u' v − u v') / v²
  • f '(x) = (−sin(x) sin²(x) − cos(x) 2 sin(x) cos(x)) / sin⁴(x)
  • simplification par sin(x) = 1
    f '(x) = (−sin²(x) − 2 cos(x) 2 cos(x)) / sin³(x)
    f '(x) = − (sin²(x) + 2 cos²(x)) / sin³(x)
  • simplification : cos²(x) + sin²(x) = 1
    f '(x) = − (1 + cos²(x)) / sin³(x)
• dérivée de f(x) = uⁿ / v^m :
  • f(x) = uⁿ v^−m
  • f '(x) = n uⁿ⁻¹ u' v^−m − m uⁿ v^−m−1 v'
  • on met uⁿ⁻¹ v^−m−1 en facteur :
    f '(x) = uⁿ⁻¹ v^−m−1 (n u' v − m u v')
    f '(x) = (uⁿ⁻¹ / v^m+1) (n u' v − m u v')
    remarque : au dénominateur v^m est remplacé par v^m+1 après simplification
    et pas par : (v^m)² = v^2m
• dérivée de f(x) = u v w : f '(x) = u' v w + u v' w + u v w'
• suite compliquée : u_n+1 = 0,8 u_n + 0,06 n + 0,34
  suite auxiliaire géométrique : v_n = u_n − 0,3 n − 0,2
  j'ai dû refaire mes calculs plusieurs fois avant de trouver la réponse (et c'est normal!)
  Il en est de même en programmation : il y a toujours des erreurs de codage
    un programme clair, avec des commentaires permet de les retrouver plus facilement.
  même chose en math.
  • v_n+1 = u_n+1 − 0,3 (n+1) − 0,2
    v_n+1 = u_n+1 − 0,3 n − 0,3 − 0,2
    v_n+1 = u_n+1 − 0,3 n − 0,5
  • v_n+1 = 0,8 u_n + 0,06 n + 0,34 − 0,3 n − 0,5
    méthode : on peut mettre 0,06 n et −0,3 n l'un au-dessous de l'autre
    de même que +0,34 et −0,5
    v_n+1 = 0,8 u_n − 0,24 n − 0,16
  • u_n = v_n + 0,3 n + 0,2
    v_n+1 = 0,8 (v_n + 0,3 n + 0,2) − 0,24 n − 0,16
    v_n+1 = 0,8 v_n + 0,24 n + 0,16 − 0,24 n − 0,16
  • v_n+1 = 0,8 v_n
• Comment fabriquer des suites difficiles :
  • 1) on choisit la suite auxiliaire : v_n = a u_n + b n + c
    2) on choisit la raison géométrique : v_n+1 = d v_n
  • maintenant on en déduit la suite (u_n) :
    v_n+1 = a u_n+1 + b (n+1) + c = d v_n = d (a u_n + b n + c)
    a u_n+1 = d a u_n + d b n + d c − b (n+1) − c
    u_n+1 = d u_n + (bd/a) n + (d/a) c − (b/a) (n+1) − (c/a)
    u_n+1 = d u_n + (bd/a) n − (b/a) (n+1) − (c/a) + (d/a) c
    u_n+1 = d u_n + (b/a) (d−1) n − (b/a) − (c/a) + (cd/a)
    u_n+1 = d u_n + (b/a) (d−1) n + (cd−b−c)/a
  • vérification sur l'exemple précédent :
    exercice précédent : a=1 ; b=−0,3 ; c=−0,2 ; d=0,8
    (b/a) (d−1) = (−0,3) (−0,2) = 0,06   (ok)
    (cd−b−c)/a = ((−0,2)(0,8) +0,3 +0,2)/1 = −0,16 + 0,5 = 0,34   (ok)

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