Gaétan maths   [répertoire]

• Maths : bac_blanc_maths_18
• z_A=−1+i√3 ; z_B=−1−i√3 ; z_C=2 ; z_D = 5 − i√3
  • 1.b) mettre z_A et z_B sous forme exponentielle
    |z_A| = √1+3 = 2
    z_A = 2 ( −1/2 + i √3/2 ) = 2 (cos 2π/3 + i sin 2π/3) = 2 e^{i 2π/3}
    z_B = z_A = 2 e^{−i 2π/3}
    on remarque que : z_A = 2 j et z_B = 2 j²   où j³=1 (les racines cubiques de l'unité)
  • 2.a) Construction géométrique des points A, B, C ?
    Pour tracer les points A, B, C : faire le cercle (O, r=2) puis mener la verticale x = −1
    On utilise la forme exponentielle (cercle) et la forme algébrique (x)
    remarque A, B, C = les 3 racines de l'unité (1, j, j²) × 2 (classique)
  • 2.b) angle(CA,CB) : calculer z = (z_B−z_C) / (z_A−z_C)
    • Calculer directement (la calculatrice sait le faire : pour vérifier)
      on peut ainsi vérifier les calculs à chaque étape.
      z = (−3 − i √3) / (−3 + i √3)
      on multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée du dénominateur : (−3 − i √3)
      z = (−3 − i √3)² / 12
      z = (3 + i √3)² / 12
      z = (9 + 6 i √3 − 3) / 12
      z = (6 + 6 i √3) / 12
      z = 1/2 + i √3/2
      module(z) : r² = 1/4 + 3/4 = 1
      pour trouver l'angle : dessiner un cercle trigo
      z = cos π/3 + i sin π/3 = e^iπ/3       remarque (cos 60° + i sin 60°)
    • ou Arg(z₁/z₂) = Arg(z₁) − Arg(z₂)
      |z₁/z₂| = |z₁| / |z₂|
      Pourquoi ? z = r₁ e^{i α₁} / (r₂ e^{i α₂}) = (r₁ / r₂ ) e^{i (α₁−α₂)}
      ⇒ pour calculer une somme (soustraction) : utiliser la forme cartésienne
      ⇒ pour calculer un produit (division) : utiliser la forme exponentielle
    • (z_B−z_C) = −3 − i √3
      forme exponentielle : r² = 9 + 3 = 12
      r = 2 √3
      (z_B−z_C) = 2 √3 (−3/(2 √3) − i √3/(2 √3))
      (z_B−z_C) = 2 √3 (−√3/2 − i 1/2)
      angle θ pour cos(θ)=−√3/2 et de sin(θ)=−1/2 ? θ = −150° = −5π/6
      (z_B−z_C) = 2 √3 e^−i5π/6
    • (z_A−z_C) = 2 √3 e^i5π/6   (complexe conjugué)
    • (z_B−z_C) / (z_A−z_C) = e^{i(−5π/6 − 5π/6)} = e^−i10π/6
      (−10π + 2 k π) / 6 avec k = 6 : devient (−10π + 12 π) / 6 = 2 π/6
      (z_B−z_C) / (z_A−z_C) = e^i2π/6 = e^iπ/3
  • 2.c) Interprétation géométrique : longueurs, angles
    M(z) : module = distance OM ; argument = angle avec l'axe Ox
    Module (z_B−z_C) / (z_A−z_C) = 1 : les distances CA = CB
    Argument (z_B−z_C) / (z_A−z_C) = π/3 : angle entre les vecteurs CA et CB
  • 2.d) Nature du triangle ABC : Le triangle ABC est au moins isocèle de sommet C (CA = CB)
    Mais l'angle C = π/3 = 60° : le triangle est équilatéral.
    On peut le vérifier car AB = 2 √3 = √12
    Donc les 3 côtés sont égaux.
    ou : les 3 triangles OAB, OBC, OCA sont égaux (2 côtés de longueur 2 et l'angle O = 120° = 2π/3) donc AB=BC=CA
  • 3.a) D : z_D = 5 − i√3
    calculer (z_A+z_D)/2 = 2 à comparer à z_C = 2
  • 3.b) Calculer le point E tel que ABDE soit un parallélogramme :
    attention au sens des vecteurs : AB = ED (à vérifier sur la figure)
    z_B−z_A = z_D−z_E
    z_E = z_D − z_B + z_A = 5 − i√3 − (−1 − i√3) + (−1 + i√3) = 5 + i √3
    ABDE est même un rectangle
• exercice 2 : suite u_n+1 = (1 + 3 u_n) / (3 + u_n)
  • voir cours : suite de la forme u_n+1 = f(u_n) avec f(x) = (1 + 3 x) / (3 + x)
  • 2.A.1) sachant que u_n − 1> 0 ; démontrer par récurrence que u_n+1 − 1> 0
    il faut calculer u_n+1 − 1 et faire apparaître l'hypothèse de récurrence u_n − 1 > 0
    en effet, (u_n − 1) = apparaît en facteur
  • 2.A.2.a) ok
  • 2.A.2.b) variation : signe de u_n+1 − u_n à calculer
    utiliser le résultat précédent : u_n − 1 > 0
    qui est en facteur dans l'expression
  • (u_n) est décroissante et minorée par 1 : elle converge donc vers une limite ≥ 1 (mais on ne la connaît pas ici).
  • remarque (cours) : quelles sont les limites possibles ? f(x) = x = (1 + 3x) / (3 + x)
    3x + x² = 1 + 3x : x = ± 1 (les 2 seules limites possibles)
    seule la limite 1 ≥ 1 est acceptable
  • 2.B.1) utilisation de la calculatrice : mode suite a_n+1 = (1 + 3 a_n) / (3 + a_n)
    a₀ = 2
  • 2.B.2) conjecture = hypothèse (n'est pas à démontrer) |u_n − 1| ↘ très proche de 0
    on conjecture que |u_n − 1| → 0 soit u_n → 1
  • 2.B.3.a) suite auxiliaire v_n = (u_n − 1) / (u_n + 1)
    donc v_n+1 = (u_n+1 − 1) / (u_n+1 + 1)
    à mettre sous la forme : v_n+1 = (−1/3) v_n
    remplacer u_n+1 par sa valeur (1 + 0.5 u_n) / (0.5 + u_n)
    on peut multiplier en haut et en bas par 2 pour alléger l'écriture u_n+1 = (2 + u_n) / (1 + 2 u_n)
  • 2.B.4.a) v_n = 1 équivaut à résoudre (u_n − 1) / (u_n + 1) = 1
    comme u_n + 1 > 1 > 0 , on multiplie par u_n + 1
    ⇔ − 1 = + 1 : pas de solution ∄ u_n tel que v_n = 1
  • 2.B.4.b) développer v_n = (u_n − 1) / (u_n + 1) et regrouper les u_n
  • 2.B.4.c) on a l'expression de (u_n) en fonction de v_n ; on connaît v_n
    Mais on ne demande que la limite : limite de (v_n) = 0 quand n → ∞ car |q| = 1/3 < 1
    limite de u_n = (1 + 0) / (1 − 0) = 1   par addition et division de limites.
• exercice 4 :
  • 4.A.1) φ(x) = e^x − x²/2
    φ'(x) = e^x − x > 0 ⇒ φ(x) ↗
    donc φ(x) ≥ φ(0) = 1
  • 4.A.2) e^x − x²/2 ≥ 1   ⇒   e^x ≥ 1 + x²/2
    e^x/x ≥ 1/x + x/2
    lim 1/x + x/2 = 0 + ∞ quand x → ∞
    comme e^x/x ≥ 1/x + x/2 ; e^x/x → ∞
  • 4.B.1.a) limite g(x) : x → ∞ forme indéterminée : mettre en facteur le terme de plus haut degré ou le plus croissant
    g(x) = e^x ( 1/e^x − x/e^x + 1 ) → ∞ × 1
  • 4.B.1.b) La variation de g(x) présentant un minimum g(0) = 2 : g(x) ≥ 2 > 0 ∀ x
  • 4.B.6) tangente : coef. dir. = f '(a) = Δy / Δx = (y − y_A) / (x − x_A)
    f '(a) = Δy / Δx = (y − f(a)) / (x − a)
    ou : y = f '(a) (x − a) + f(a)