Cours du 29 mars 2018 : Physique   [répertoire]

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• Intégrales
  • interprétation géométrique : ∫_a^b f(x) dx = Aire sous la courbe C(f) entre les droites verticales x=a et x=b
    avec a < b (sinon, le signe serait inversé)
    quand la fonction est négative, l'aire est comptée négativement.
  • si f(x) < g(x) ∀ x dans [a;b], alors : ∫_a^b f(x) dx < ∫_a^b g(x) dx
  • e^−(n+1)x = e^−nx × e^−x
    • 0 ≤ x ≤ 1
    • e^X étant une fonction ↗ : e⁰ ≤ e^x ≤ e¹
    • l'inversion 1/X étant ↘ : 1 ≥ e^−x ≥ 1/e
    • e^−nx > 0 ⇒ e^−nx ≥ e^−nx e^−x
    • e^−nx ≥ e^−(n+1)x
    • ∫₀¹ e^−nx dx ≥ ∫₀¹ e^−(n+1)x dx
  • démonstration que : f(x)/(1+x) < f(x) sur [ 0 ; 1 ]
    • 0 ≤ x ≤ 1
    • 1 ≤ 1+x ≤ 2
    • l'inversion 1/X étant ↘ : 1 ≥ 1/(1+x) ≥ 1/2
    • f(x) > 0 ⇒ f(x) ≥ f(x)/(1+x) ≥ f(x)/2
  • f(x) > 0 ⇒ 0 < f(x)/(1+x) < f(x) sur [0;1] ⇒ f(x)/(1+x)² ≤ f(x)/(1+x) ≤ f(x)
    donc : 0 ≤ ∫ f(x)/(1+x)² dx ≤ ∫ f(x)/(1+x) dx ≤ ∫ f(x) dx
    si ∫ f(x) dx → 0   (à calculer) ; alors, d'après le théorème du gendarme,
      les autres intégrales → 0 (quand n → ∞)
• géométrie 3D : bas S Math 2017
  • pondichéry 2017 exercice 5 (3 points) cube
    on relie 2 points situés dans le même plan : cette droite coupe les autres droites de ce plan
    exemple plan yOz = face arrière du cube : une droite de ce plan coupe les 4 arêtes de la face du cube (ou leurs prolongements)
    ces nouveaux points appartiennent à 2 faces.
    si l'on a 2 points sur cette nouvelle face, on les relie pour trouver de nouvelles intersections avec d'autres arêtes.
    . . .
  • polynésie 2017 exercice 3 (4 points) cube
    original
  • centres étrangers 2017 exercice 2 (4 points) droites
    1) équation d'un droite : forme paramétrique (t) des droites : M = A + t u (× 3 coordonnées)
      vecteur directeur u // droite
    2) équation d'un plan : OM.u − OA.u = a x + b y + c z + d = 0 (vecteur u = (a, b, c) ⊥ plan)
    classique (= question de cours) trouver la droite ⊥ à 2 droites (non parallèles) de l'espace
    se laisser guider par les questions de l'énoncé.
    1) à partir des vecteurs directeurs des 2 droites (u, v), on trouve le vecteur w ⊥ à ces 2 vecteurs.
    2) une des 2 droites avec ce vecteur définit un plan
      on calcule l'intersection de l'autre droite avec ce plan.
    la droite recherchée passe par ce point et a pour vecteur directeur w

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