Cours du 10 mai 2018 : Maths   [répertoire]

• Amérique du sud 2017 EXERCICE 2 (cube)
  • 1.a) simplifier AC + AE = AC + CG = AG
  • 1.b) AG.BD = (AC + AE) . BD = AC.BD + AE.BD = 0 + 0
  • 1.c) AG.BE = 0 : AG ⊥ BE et à BD 2 vecteurs non colinéaires du plan (BDE)   ⇒   AG ⊥ plan (BDE)
    remarque : AG.BE = (AB + BC + CG) . (BA + AE) = AB.BA + BC.BA + CG.BA + AB.AE + BC.AE + CG.AE = −a² + 0 + 0 + 0 + 0 + a² = 0
  • 2.a) B=(1,0,0) ∈ (x+y+z−1=0) ? si B satisfait l'équation du plan : (x+y+z−1)(B) = 0
    de même D=(0,1,0) satisfait l'équation du plan : (x+y+z−1)(D) = 0
    de même E=(0,0,1) satisfait l'équation du plan : (x+y+z−1)(E) = 0
    comme 3 points B,D,E non alignés ∈ plan(x+y+z−1=0), c'est le plan (BDE)
    car un plan est définit par 3 points non alignés.
  • 2.b) K = (AG) ∩ (BDE) :
    K ∈ (AG) : AK = t AG   ⇒   OK = OA + t AG   ⇒   K = (0,0,0) + t (1,1,1)
    K ∈ (BDE) : x+y+z−1=0 soit t+t+t−1=0 ou 3t=1 ou t=1/3
    K = (1/3 ; 1/3 ; 1/3)
  • 2.c) Aire(BDE) = √3 / 2
    BDEG est une pyramide à base triangulaire BDE et de sommet G
    Aire d'une pyramide = base × hauteur / 3
    hauteur = KG = √(x_G−x_K)² + . . . = √(2/3)² + . . . = √4/9 × 3 = 2 / √3
    Volume(BDEG) = √3 / 2 × (2 / √3) / 3 = 1/3
  • remarque : AG = √1+1+1 = √3 ; AK = (1/3)AG et KG = (2/3)AG
    aire d'un triangle (2d) = base × hauteur / 2
    aire d'un cône (3d) = base × hauteur / 3
• Antilles Guyane 2017 EXERCICE 5 équations
  • A(−1 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4) et C(−1 ; 1 ; 1)
  • 1.a) A,B,C non alignés ? AB = OB−OA = (2 ; 0 ; 4) ; AC = OC−OA = (0 ; −1 ; 1)
    AB et AC ne peuvent pas être proportionnels :
    recherchons k tel que AB = k AC : x_AB = k x_AC : 2 = k × 0 impossible : pas de solution pour k
  • 1.b) AB.AC = 0 + 0 + 4
  • 1.c) angle(BAC) :
    AB.AC = |AB| |AC| cos(BAC) = √4+16 √1+1 cos(BAC)
    4 = 2 √5 √2 cos(BAC)
    cos(BAC) = 2 / √10
    angle(BAC) ≈ 0.886 rad ≈ 58°
  • 2.a) n (2 ; −1 ; −1)
    calcul de n.AB et n.AC
    n.BA = 2×2 + (−1)×0 + (−1)×4 = 0
    n.AC = 2×0 + (−1)×(−1) + (−1)×1 = 0
    n ⊥ 2 vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est ⊥ plan (ABC)
  • 2.b) équation : n_x x + n_y y + n_z z + d = 0
    2x − y − z + d = 0
    détermination de d : A ∈ (ABC) : 2×(−1) − 2 − 0 + d = 0 ⇒ d = 4
    plan (ABC) : 2x − y − z + 4 = 0
  • 3.a) P1 (3x + y − 2z + 3 = 0) P0 (x − 2z + 6 = 0)
    P2 // P0 ; O ∈ P2 : P2 (x − 2z + d = 0) ⇒ d = 0 : P2 (x − 2z = 0) ou x = 2z
  • 3.b) lesplans P1 et P2 ayant des normales non colinéaires se coupent nécessairement.
  • 3.c) On vérifie que tous les points de la droite D ∈ P1 :
    3x + y − 2z + 3 = 3 (2t) + (−4t−3) − 2 (t) + 3 = 6t −4t −3 − 2t + 3 = 0 : l'équation de P1 est vérifiée par tous les points de D
    . . . P2
  • D ∩ (ABC) :
    points de (ABC) : 2x − y − z + 4 = 0
    points de D ∩ (ABC) : 2(2t) − (−4t−3) − (t) + 4 = 0
    4t + 4t + 3 − t + 4 = 0
    7t + 7 = 0
    t = −1
    1 point d'intersection : x = 2(−1) ; y = −4(−1) − 3 ; z = (−1) soit (−2 ; 1 ; −1)
• Amérique du sud 2017 EXERCICE 5
  • A.1) suite géométrique : q = (1 + 5%) = 1.05 : 2016 : v₀ = 12 ; 2016 + n : v_n = v₀ qⁿ = 12 × 1.05ⁿ
  • A.2) croît indéfiniment donc finit par épasser 60 : le modèle ne répond pas à cette contrainte.
  • B.1) u_n+1 = −1.1/605 u_n² + 1.1 u_n = g(u_n)
    g(x) = −1.1/605 x² + 1.1 x
  • B.1.a) g'(x) = −2.2/605 x + 1.1
    0 ≤ x ≤ 60
    multiplication par −2.2/605   ⇒   0 ≥ −2.2/605 x ≥ −2.2×60/605 = −0.21818
    ajout de 1.1   ⇒   1.1 ≥ g'(x) ≥ 1 − 0.21818 = 0.78181 > 0 : g'(x) > 0 sur l'intervalle [0 ; 60] donc g(x) ↗
  • B.1.b) résoudre g(x) = x   les seules limites possibles
    ax² + bx = 0 = x (ax + b) : 2 solutions { 0 ; −b/a }
    −1.1/605 x² + 1.1 x = x
    −1.1/605 x² + 0.1 x = 0
    x (−1.1/605 x + 0.1) = 0
    2 solutions : x=0 et x=0.1×605/1.1 = 55
  • B.2.a) u₁ = −1.1/605 * 12² + 1.1 * 12 = 12.938
    la suite (u_n) croît pour les premières valeurs, comme le modèle géométrique de la partie A
  • B.2.b) init : 0 ≤ u₀=12 ≤ 55 : VRAIE DEMONSTRATION CLASSIQUE
    hérédité : comme g(x) ↗ a ≤ b   ⇒   g(a) ≤ g(b)
    d'où : si 0 ≤ u_n ≤ 55   ⇒   g(0) ≤ g(u_n) ≤ g(55)
    0 ≤ u_n+1 ≤ g(55) = 55
    la propriété 0 ≤ u_n ≤ 55 est vraie pour n = 0 ; elle est héréditaire,
      Par démonstration par récurrence, elle est vraie ∀ n ≥ 0
  • B.2.c) démontrer que (u_n) croît : démonstration par récurrence : DEMONSTRATION CLASSIQUE
    init : P(0) VRAIE : u₀ < u₁
    hérédité : hypothèse P(n) : u_n < u_n+1 ⇒ g(u_n) < g(u_n+1) car g ↗
    soit u_n+1 < u_n+2
    par démonstration par récurrence : P(n) : u_n < u_n+1 est VRAI ∀ n ≥ 0
    (u_n) ↗
  • B.2.d) Une suite croissante majorée converge vers une limite ≤ au majorant
  • B.2.e) la limite l=55 correspond à 55 000 individus ≤ 60 000 (contrainte du milieu naturel)
  • B.3) Tant que u < 50
    u prend la valeur −1.1/605 u² + 1.1 u
    n prend la valeur n + 1
    Afficher n
• Antilles Guyane 2017 EXERCICE 4
  • f(x) = ln(x) / x = 1/n ; avec (x > 0)
  • A.1) variations de f : f '(x) = 1/x² − ln(x)/x² = (1 − ln(x)) / x²
    1 = ln(e) :: ln(x)
    si x < e : ln(x) < 1 et 1 − ln(x) > 0
    si x > e : ln(x) > 1 et 1 − ln(x) < 0
    ou bien on dérive : (1 − ln(x))' = −1/x < 0   ⇒   (1 − ln(x)) ↘

    x	0		e		∞
    1 − ln(x)	∞	↘	0	↘	−∞
    1 − ln(x)	+		0	−
    f '(x)	+		0	−
    f(x)	−∞	↗	1/e	↘	0

  • A.2) maximum pour x = e : f(e) = 1/e (↗ avant l'extrêmum ↘ après)
    remarque : quand x → ∞ : lim f(x) = 0 par croissances comparées à l'infini (ln(x) croît moins vite que x)
  • B.1) n ≥ 3 f(x) = 1/n ≤ 1/e
    • 1) f(x) est continue sur [1;e] par division de fonctions continues sans division par 0
    • 2) 1/n ∈ f([1;e]) : f(1)=0 < 1/n et 1/n < f(e)=1/e
      f(1) = 0 < 1/n
      n ≥ 3 > e ≈ 2.71828   ⇒   1/n ≤ 1/3 < 1/e = f(e)
      f(e) = 1/e > 1/n
    • 3) f(x) est croissante sur [1;e] d'après le tableau de variations de A.1
    • par application du TVI : f(x) prend une fois et une seule la valeur 1/n pour une valeur α_n ∈ [1;e]
  • B.2.a) la suite α_n ↘
  • B.2.b) n < n+1   ⇒   1/n = f(α_n) > 1/(n+1) = f(α_n+1)
    comme f(x) ↗ : f(α_n) > f(α_n+1)   ⇒   α_n > α_n+1
    soit : (α_n) ↘
  • B.2.c) la suite (α_n) ↘ est minorée par 1 : elle converge donc vers une limite ≥ 1
  • B.3.a) 1/n = ln(β_n) / β_n   ⇒   β_n = n ln(β_n)   (utiliser la définition de β_n)
    il reste à démontrer que ln(β_n) ≥ β₃/3 ?
    on sait que : β₃ = 3 ln(β₃) soit ln(β₃) = β₃ / 3   (utiliser la définition de β₃)
    on sait que : e ≤ β₃ ≤ β_n ≤ β_n+1
    (β_n) ↗ donc : β_n ≥ β₃
    comme la fonction ln ↗ : β_n ≥ β₃   ⇒   ln(β_n) ≥ ln(β₃) = β₃ / 3
    d'où : β_n = n ln(β_n) ≥ n β₃ / 3
    Maintenant que l'on connaît la démonstration : 3 ≤ n
      (β_n) ↗   ⇒   β₃ ≤ β_n
      ln ↗   ⇒   ln(β₃) ≤ ln(β_n)
      définition   ⇒   β₃/3 ≤ β_n/n
      Soit : β_n ≥ n β₃/3
  • B.3.b) quand n → ∞ : n β₃/3 → ∞ car β_n étant > nombre → ∞, elle tend vers aussi l'infini.
    lim β_n = ∞

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