Cours du 15 juin 2019 : Maths   [répertoire]

• entraînement :   calculs test     courbes_usuelles_test
• références :
  • étude de fonction Cubique
  • fiche proba
  • suites
  • puissances (de 10) (= exponentielles à base 10)
  • derivées de base
  • primitives de base
  • 12 sujets de bac (avec 4 corrigés) ; APMEP annales 2018 (12 sujets+corrigés)
  • annales thématiques :   on y trouve tous les exercices de type BAC (avec corrigés)
• https://www.sujetdebac.fr/annales-pdf/2019/s-mathematiques-obligatoire-2019 :
  • amerique-nord-sujet-officiel.pdf
    amerique-nord-corrige.pdf
  • liban-sujet-officiel.pdf
    liban-corrige.pdf
  • centres-etrangers-sujet-officiel.pdf
    centres-etrangers-corrige.pdf
• exercice 1 : QCM
  question 1.1 : DISTRIB -> binomFdp(n, p, k) = binomFdp(80, 1/4, 20) = 0.1025   (d)
  question 1.2 : P(X≥200) = 0.025 par symétrie : P(X≤100) = 0.025 ⇒ P(X≥100) = 0.975   (d)
  question 1.3 : P(T≥5) = e^−5λ   E(T) = 1/λ = 5 ⇒ λ=1/5 ⇒ P(T≥5) = e⁻¹   (c)
  question 1.4 : estimation moyenne à 95% : [ μ − 1/√n ; μ + 1/√n ] : 0.04 = 2/√n ⇒ n = (2/0.04)^2 = 2500   (b)
• Intervalle I de fluctuation à 95% :
  approximation à une loi normale (Loi des grands nombres)
  fluctuation de la moyenne de l'échantillon connaissant p de la population
  vérification d'hypothèse : la fraction moyenne de la population est censée être p
  on part d'une population suivant une loi de Bernoulli B(p)   (une pièce satisfait un contrôle : succès/échec)
  variable : la moyenne f des échantillons de n éléments d'une population B(p)
  si l'échantillon est suffisamment grand :
  3 critères de validité : n ≥ 30 ; n p ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5
  la moyenne f des échantillons suit une loi normale N(p, σ=√p(1−p)/n)
  I₉₅ = [p − 1,96 √p(1−p)/n ; p + 1,96 √p(1−p)/n]
  proba P(f ∈ I₉₅) = 0.95
  si l'on demande de vérifier que la population suit B(p), on calcule l'intervalle en utilisant l'hypothèse p.
  si la moyenne f de l'échantillon tombe en dehors de l'intervalle, c'est une contradiction : l'hypothèse et rejetée.
• Estimation à 95% de p inconnue : on utilise I₉₅ = [f − 1/√n ; f + 1/√n]
  approximation à une loi normale (Loi des grands nombres)
  proba P(μ ∈ I₉₅) = 0.95
  on vérifie les 3 critères de validité : n ≥ 30 ; n p ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5
  comme p est inconnu, on utilise p=1/2 qui donne le plus grand σ(p)
  on arrondi 1,96 à 2
  1/√n ≈ 1,96 √p(1−p)/n avec p = 1/2 pour lequel σ est maximum (c'est un intervalle encadrant)
• loi exponentielle : moyenne = 1/λ et écart-type = 1/λ ; P(X≥a) = e^−λa
  P(X≤a) = 1 − P(X≥a) = 1 − e^−λa
  désintégration radioactive : tant que l'atome ne s'est pas désintégré, sa probabilité est toujours la même
  dN = − λ N dt ⇒ N = N₀ e^−λt
• Bernoulli X = B(p) : E(X) = p et V(X) = σ²(X) = p (1 − p)
• Loi Binomiale B(n,p) = somme de n tirages de Bernoulli B(p)
  Loi binomiale X = B(n,p) : E(X) = n p et V(X) = σ²(X) = n p (1 − p)
  P(X=k) = (k parmi n) p^k (1−p)^n−k
  sur la TI82 : distrib → binomFdp(n,p,k)
  Moyenne d'un échantillon de taille n : E(X) = p et V(X) = σ²(X) = p (1 − p) / n
  Moyenne d'un échantillon → N(p,σ) quand n est grand
• Intervalle de fluctuation : pour un échantillon de taille n pris dans une population ayant un caractère de Bernoulli de proba p
  4 exemples : vote pour A / non A ; garçon / fille ; taille > 1,80 m / ≤ 1,80 m ; Vrai / Faux
  hypothèse : population B(p=0,5) ; si f de l'échantillon en dehors de l'intervalle de fluctuation à 95% :
    l'hypothèse est rejetée au risque de se tromper de 5%.
• arbre des probabilités : utiliser les proba. connues pour commencer.

retour aux menus : cours 2018     math TS     math   fichier source