chapitre sur les limites de fonction j'ai bien compris.
chapitre sur géométrie dans l'espace est un peu plus compliqué. Je ne sais pas trop quoi revoir.
• asymptotes verticales x=a : f=u/v avec v(a)=0 et u(a)≠0
• croissances comparées des fonctions à l'infini : ln(x) ≪ √x ≪ x ≪ x² ≪ x3 . . . ≪ ex
• vecteurs indépendants :
2 vecteurs u et v si ∄ a tel que v = a u : 3 équations (x,y,z) 1 inconnue (a)
(le contraire : v = a u : colinéaires)
3 vecteurs u, v et w si ∄ (a, b) tel que w = a u + b v : 3 équations (x,y,z) 2 inconnues (a,b)
Si 3 vecteurs sont indépendants, ils peuvent servir de base pour l'espace 3d.
(le contraire : w = a u + b v : coplanaires)
→ savoir résoudre 2 premières composantes : 2 = 3 a + 4 b ; 3 = 4 a + 5 b
(système linéaire de 2 équations à 2 inconnues)
1) combinaison 2) substitution (ou combinaison)
élimination de a :
2 = 3 a + 4 b à multiplier par 4
3 = 4 a + 5 b à multiplier par −3
8 = 12 a + 16 b
−9 = −12 a − 15 b
addition : −1 = 0 a + b donc b = −1
quand on a b, on le substituer dans une des 2 équations : 2 = 3 a + 4 (−1) soit 3 a = 6 ; a = 2
→ Il reste à vérifier que l'équation w = a u + b v = 2 u − v est aussi satisfaite pour la 3ème composante.
On calcule le membre de droite : il doit être égal au membre de gauche
remarque : le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs : 0 = 0 u
• Barycentre( (A,α), (B,β), (C,γ) ) : (α + β + γ) OG = α OA + β OB + γ OC
avec O en G : 0 = α GA + β GB + γ GC
• connaître les principaux plan du cube (ABCDEFGH)
les 6 faces (ABFE) . . . ; (ACGE), (BDHF), (DGE), (FAD), (AHF), (DBG), . . .
• un plan coupe 2 plans parallèles (2 faces opposées du cube) selon 2 droites parallèles
• Plans ∩ 6 faces du cube
Un plan diagonal du cube (BDHF) (les lettres des sommets ne sont pas dans l'ordre de l'exercice)
• EG et CA (diagonales des faces haute et basse) sont parralèles, de même longueur mais de sens opposés
bien tracer les flèches E------->G à comparer à C------->A
• AB, AD, AE forment une base de l'espace
pour former une base, il faut une origine, les 3 vecteurs doivent être indépendants)
les vecteurs ne sont pas coplanaires :
impossible d'exprimer AE(0, 0, 1) en fonction de AB et AD (plan z=0)
• vecteurs coplanaires : (OA=GA/2, GE, DH=AE) et (OB=HB/2,AG,AH=AO+OH)
on exprimer le vecteur le plus compliqué (avec le plus de composantes on nulles)
en fonction des 2 vecteurs les plus simples : OA en fonction de (GE,DH)
• (GE,DH=−EA) forment un plan et OA est dans ce plan
preuve : OA = GA/2 = (GE+EA)/2 = (GE−DH)/2
• (GE,DA=HE) forment le plan (EFGH) et OA sort de ce plan (il a une composante z≠0)
• (OB=HB/2,AG) forment le plan (HABG) et AH est dans ce plan
preuve : AH = AO+OH = AG/2−OB
• repères de l'espace : (F, DC, EH, HO)
(AB, AO, AH) sont coplanaires : plan (ABGH)
• (BO) et (HG) : sont coplanaires (plan (BHG)) et sont sécantes (en H)
- 3.1) AB = B−A = (8;−12;20)
AC = C−A = (−10;15;−25)
recherche de k tel que AB = k AC
3 équations pour 1 inconnue
en x : 8 = k (−10) ⇒ k = −8/10 = −4/5
en y : −12 = k (15) vérification membre de droite : k (15) = (−4/5) (15) = −12 ok
en z : 20 = k (−25) vérification membre de droite : k (−25) = (−4/5) (−25) = 20 ok
Donc AB = (−4/5) AC
AC et AB sont colinéaires : A, B, C sont alignés - 3.2) u=(−2;−1;1) ; v=(−1;1;−2) ; w=(1;−2;−1)
essayons de trouver (a, b) tels que w = a u + b v
3 équations pour 2 inconnues (a, b)
selon x : 1 = −2 a − b
selon y : −2 = −a + b
selon z : −1 = a − 2 b
on résoud le système : (y),(z)
combinaison (y)+(z) : −3 = −b : b=3
combinaison 2(y)+(z) : −5 = −a : a=5
vérification de l'équation (x) : −2 a − b = −10 − 3 = −13 ≠ 1
il n'y a pas de solution (a,b) à w = a u + b v
w n'est pas une combinaison linéaire de u et v : les 3 vecteurs forment une base - G est le milieu de AI : OG = (OA+OI)/2
BI = BC/3 ⇒ OI − OB = (OC − OB)/3
⇒ OI = (2/3) OB + (1/3) OC
donc OG = (1/2) OA + (1/3) OB + (1/6) OC
G = Bar{ (A,1/2), (B,1/3), (C,1/6) }
- f(x) = (−3 x² + 2 x + 24) / (−x² + x + 12)
- 2.1) valeurs interdites : Δ = 1 + 48 = 49 = 7²
x = (−1 ± 7) / (−2) ∈ {−3, 4}
D(f) = ]−∞, −3[ ∪ ]−3, 4[ ∪ ]4, +∞[
4 Bornes à étudier : −∞, −3, 4, +∞ - 2.2) limite quand x → +∞ : f(x) = (−3 + 2/x + 24/x²) / (−1 + 1/x + 12/x²)
limite = (−3 + 0 + 0) / (−1 + 0 + 0) = 3
asymptote horizontale y = 3 pour x → −∞ et x → +∞ - 2.3) limite quand x → −3− : x < −3 : (−x² + x + 12) → 0−
ax²+bx+c est du signe de a à l'extérieur des racines
numérateur(−3) = −27 − 6 + 24 = −9
limite de f(x) quand x → −3− = −9 / 0− = +∞
limite de f(x) quand x → −3+ = −9 / 0+ = −∞
limite quand x → 4− : x < 4 : (−x² + x + 12) → 0+
numérateur(4) = −48 + 8 + 24 = −16
limite de f(x) quand x → 4− = −16 / 0+ = −∞
limite de f(x) quand x → 4+ = −16 / 0− = +∞
asymptotes verticales : x = −3 et x = 4 - 2.4) f = u/v : f ' = (u'v − uv') / v²
u' = −6x+2 ; v' = −2x+1
numérateur = (−6x+2) (−x² + x + 12) − (−3 x² + 2 x + 24) (−2x+1)
= 6x3 −6x² −72x −2x² + 2x + 24 − [6x3 −3 x² −4x² +2x −48x +24]
= 6x3 −6x² −72x −2x² + 2x + 24 − 6x3 +3 x² +4x² −2x +48x −24
= −6x² −72x −2x² + 2x + 24 +3 x² +4x² −2x +48x −24
= −x² −24x
f '(x) = (−x² − 24 x) / (−x² + x + 12)² racines {−24, 0} - 2.5) tableau de variation :
x −∞ −24 −3 0 4 +∞ Num − 0 + + + 0 − − − Dén + + + 0 + + + 0 + f '(x) − 0 + || + 0 − || − f(x) 3 ↘ 0 ↗ || ↗ 0 ↘ || ↘ 3 - 2.6) tracé :
encadrement de −1/x3 ≤ cos(x)/ x3 ≤ 1/x3 → 0
limite −∞
x12345/ex → 0