primitives et intégrales   (répertoire)

• Math : équations différentielles d'ordre 1,2 et les primitives.
  freescience : primitives   primitives de base   primitives test  
  schoolmouv   lyceedadultes   cours   exos   cours ∫f(x)dx  
   
• primitive : f(x) a pour primitive F(x) si F'(x) = f(x)
  exemple : primitive de x² : quelle fonction F(x) telle que F'(x) = x²
  on essaie x³ : (x³)' = 3 x²
  on divise par 3 : F(x) = (x³/3)' = x²
  propriété : si F(x) = primitive de f(x) , alors F(x) + Constante = primitive de f(x)
  notation : F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ dF/dx dx = ∫ dF
   
• Interprétation géométrique :
  Aire sous la courbe : ∫_a^b f(x) dx
  d'où : la méthode des trapèzes (intégration numérique approchée)
   
• primitives à connaître : a, ax, xⁿ, 1/x, √x, 1/√x e^x
  ∫ 1/x dx = ln(x)   ;   ∫ 1/x² dx = −1/x
  Formulaire : primitives de base
  primitives test
   
• équa diff. ordre 1 : y' = a y : solutions y(x) = k e^ax
  ordre 1 : y' = a y + b : solutions y(x) = k e^ax − b/a
• une roche volcanique se refroidit selon sa température T : dT/dt = −k (T − T_ext)
  mettre l'équation différentielle de T(t) sous la forme : y' + a y = b ?
  avec les coefficients : T ' + 0.73 T = 14.6 ; unités : T(°), t(h)
  Solutions de l'équation : T(t) = A exp(−0.73 t) + 20
  donnée : T(0) = 600°
    détermination de A : T(0) = 600 = A exp(−0,73 × 0) + 20 ⇒ A = 580
  d'où : T(t) = 580 exp(−0,73 t) + 20
  Calculer la température après 1 h ? T(1) = 580 exp(−0,73) + 20 = 300 °
  Calculer la température après 1 journée ? T(24) = 580 exp(−0,73 × 24) + 20 = 20 °
    le terme exponentiel est pratiquement nul après 24 h
   
• équa diff. ordre 2 habituelles :
  y'' = −a² y :
  solutions y(x) = A cos(a x) et y(x) = B sin(a x)
  solution générale : y(x) = A cos(a x) + B sin(a x)
  y'' = a² y :
  solutions y(x) = A e^{a x} et y(x) = B e^{−a x}
  solution générale : y(x) = A e^{a x} + B e^{−a x}
  exemple ressort vertical de raideur k portant une masse m :
  ( axe Ox orienté vers le bas )
  F = m x'' = m g − k x   fonction x(t)
  1) mettre l'équation sous la forme y'' + ω² y = constante
  x'' + (k/m) x = g   avec ω = √k/m
  x'' + ω² x = g
  2) calculer la solution générale , combien de constantes ?
  ordre 2, donc 2 constantes
  x(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t) + g/ω²
  3) données : vitesse initiale x' = 0 ; position initiale = 5 cm ; k/m = 2
  ω = √k/m = √2
  x(t) = A sin(√2 t) + B cos(√2 t) + g/2
  t = 0 :
  x(t) = 5 = B + g/2
  x'(t) = √2 ( A cos(√2 t) − B sin(√2 t) )
  x'(t) = 0 = √2 A
  x(t) = (5 − g/2) cos(√2 t) + g/2
  4) unités de ω   (ω² = k/m) ?
    le coefficient de l'exponentielle ωt n'a pas d'unité : t(s) donc ω(s⁻¹)
   
• équa diff. ordre 2 générale : a y'' + b y ' + c y = d
  solution particulière y = d/c : y' = y'' = 0
  Solution de l'équation homogène sans second membre :
  y = A e^{r x} : y' = r y ; y'' = r² y
  d'où : a y'' + b y ' + c y = (a r² + b r + c) y = 0
  pour que y ne soit pas nul, il faut : a r² + b r + c = 0
  • cas Δ > 0 : 2 solutions r₁ et r₂
    y = A e^{r₁ x} + B e^{r₂ x} + d/c
  • cas Δ = 0 : 1 solution r double
    y = (A x + B) x e^{r x} + d/c
  • cas Δ < 0 : 2 solution r complexes : r = −b/(2a) ± i √−Δ/(2a) = u ± i v
    y = A e^{r₁ x} + B e^{r₂ x} + d/c
    en posant : u = −b/(2a) et v = √−Δ/(2a)
    y = e^{u x} ( A cos(|v| x) + B sin(|v| x) )
   
• NSI : Bases de données avec SQL.
  langage-sql

retour au menu :   cours_2021   math TS   cours 2020 1ère