Cours du 02 février 2022 (année 2021-2022)   ([répertoire])

• exercices sur les logarithmes, pré-requis :
  logarithme néperien : notation française : ln() ; notation informatique log()
  ln est la fonction inverse de exp : ln(e^x ) x   et   e^ln(x) = x
  courbe de ln(x) : Domaine ] 0 ; +∞ [ ; toujours ↗
  valeurs particulières : ln(0) = −∞ ; ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 ; ln(+∞) = +∞
  dérivée de ln : (ln(u))' = u'/u
  ln(a×b) = ln(a) + ln(b)
  ln(a^b) = b ln(a)
  conversion de y = 10^x : ln(y) = ln(10^x) = x ln(10)
    ⇒   e^ln(y) = e^{x ln(10)}   soit : y = 10^x = e^{x ln(10)}
   
• 2021_spe-mathematiques-asie-1-ex4A.pdf
  I.1) coefficient directeur de la tangente à C_f en x=0 : f '(0)
    remarque : équation de la tangente au point A(a,f(a)) : y = f(a) + f '(a) (x − a)
  lecture sur C_{f '} : f '(0) = 0,4
   
  I.2.a) variation de f '

  x	−∞		−2		−1		+∞
  f '	↘		−0,65	↗	0,65	↘

   
  I.2.b) f convexe si f '' > 0, courbure orientée vers les y > 0 (vers le haut)
    soit la dérivée : (f ')' > 0
    f ''(x) est le coefficient directeur de la tangente à C_{f '}
    la dérivée de f '(x) > 0 entre les 2 sommets de f '
    f est convexe dans [−2 ; 1]
   
  II) f(x) = ln( x² + x + 5/2 )
    remarque : Δ = 1 − 10 = −9 < 0   donc : x² + x + 5/2 > 0 ∀ x
  II.1) limite de f(x) = limite de ln( x²(1 + 1/x + 5/(2x²) ) quand x → +∞
  . . . = limite de ln( x²) + ln (1 + 1/x + 5/(2x²) ) = +∞ + 0 = +∞
  de même pour x → −∞
   
  II.2) f(x) = ln(u) avec u = x² + x + 5/2
    f '(x) = u'/u = (2x+1) / ( x² + x + 5/2 )
    f ' est toujours défini car ( x² + x + 5/2 ) n'est jamais nul
   
  II.3) variation de f

  x	−∞		−1/2		+∞
  2x+1	−		0	+
  x² + x + 5/2	+		+	+
  f '(x)	−		0	+
  f(x)	+∞	↘	ln(9/4)	↗	+∞

   
  II.4.a) f(x) = 2 dans [−1/2 ; +∞[ :
  f(−1/2) = ln(9/4) ≈ 0,81 < 2 et limite f(x) = +∞ > 2 quand x → +∞
  comme f est continue sur [−1/2 ; +∞[, il existe une valeur α ∈ [−1/2 ; +∞[ pour laquelle f(α) = 2
  comme f est croissante la valeur α est unique
   
  II.4.b) f(α) = 2 dans [−1/2 ; +∞[ : ln( α² + α + 5/2 ) = 2
  exp(ln( α² + α + 5/2 )) = e²
  α² + α + 5/2 − e² = 0
  Δ = 1 - 4*(5/2 - E**2) = 20.556224395722598
  α = (-1 + sqrt(20.556224395722598)) / 2 = 1.7669486317362044 arrondi à α ≈ 1,8
   
  II.5) points d'inflexion : pour f ''(x) = 0
  remarque : quand on passe d'une courbure f '' < 0 à une courbure f '' > 0 ou inversement
    on a un point d'inflexion f '' = 0 où la tangente traverse la courbe
  Il faut résoudre : −2x² − 2x + 4 = 0
  ou : −2 (x² + x − 2) = 0
  solutions x=1 et x=−2
  il y a 2 points d'inflexion en x=−2 et x=1
  ce qui permet de contrôler les résultats de la partie I
   
• 2021_spe-mathematiques-asie-2-ex4B.pdf
  f(x) = x − ln(x−1) ; D(f) = ]1 ; +∞[
  I.1) remarque : A2 = 0 et B2 = u₀ = 10
  u₁ = f(u₀) se traduit par : B3 = f(B2)
  excel français : B3 = B2 − LN(B2−1)
   
  I.2) les valeurs de u_n décroissent :
    on peut conjecturer que la suite (u_n) est décroissante
  vers la fin du tableau u_n varie très peu :
    on peut conjecturer qu'il est converge vers 2
   
  II.1) limite de f(x) quand x → 1
  . . . = limite x − limite ln(x−1) = 1 − (−∞) = +∞
  remarque : au voisinage de +∞ : f(x) = x ( 1 − ln(x(1−1/x)) / x )
    . . . = ∞ × limite 1 − ln(x)/x − ln(1−1/x) / x
    . . . = ∞ × limite 1 − 0 − ln(1−0) / x = ∞ × 1 = ∞
   
  II.2.a) f(x) = x − ln(u) avec u = x−1
  f '(x) = 1 − u'/u = 1 − 1/(x−1) = (x−1−1) /(x−1) = (x−2)/(x−1)
   
  II.2.b) variation de f :

  x	1		2		+∞
  x−2	−		0	+
  x−1	0	+	+	+
  f '(x)	||	−	0	+
  f(x)	+∞	↘	2	↗	+∞

   
  II.2.c) f(2) = 2 ; f(x) est croissante sur [ 2 ; +∞ [
  donc f(x) ≥ 2 sur [ 2 ; +∞ [
   
  III.1) proposition P(n) : u_n ≥ 2
  initialisation : n = 0 : u₀ = 10 ≥ 2
  la proposition est vraie pour n=0
  hypothèse de récurrence au rang n : u_n ≥ 2
  f étant croissante sur [ 2 ; +∞ [ : f(u_n) ≥ f(2)
  soit : u_n+1 ≥ 2
  la proposition est héréditaire et vraie pour n=0 :
  d'après le raisonnement par récurrence, elle est vraie ∀ n ≥ 0
   
  III.2) proposition P(n) : u_n+1 < u_n
  initialisation : n = 0 : u₁ ≈ 7,8 < u₀ = 10
  la proposition est vraie pour n=0
  hypothèse de récurrence au rang n : u_n+1 < u_n
  f étant croissante sur [ 2 ; +∞ [ : f(u_n+1) < f(u_n)
  soit : u_n+2 < u_n+1
  la proposition est héréditaire et vraie pour n=0 :
  d'après le raisonnement par récurrence, elle est vraie ∀ n ≥ 0
   
  III.3) la suite (u_n) est décroissante à partir de 10 et minorée par 2
  elle converge donc vers une limite L ≥ 2
   
  III.4) f(L) = L
  L − ln(L−1) = L
  ln(L−1) = 0
  exp(ln(L−1)) = e⁰
  L−1 = 1
  L = 2
  remarque :
  La suite (u_n) converge et comme la seule limite possible est 2
  la suite (u_n) converge vers 2
   
• résoudre une équation :
  croissance de la population de 5 % par an
  après combien d'années aura-t-elle doublé ?
  après combien d'années aura-t-elle été multipliée par 10 ?
  le résultat sera arrondi à l'année.
  on partira d'une population p₀ = 1 (unité : million d'habitants)
  p₁ = ( 1 + 5/100 ) p₀ = 1,05 p₀
  p_n+1 = 1,05 p_n
  formule explicite : p_n = p₀ 1,05ⁿ
   
  1) durée avant le doublement de la population :
  1,05^n₂ = 2
  ln(1,05^n₂) = ln(2)
  n₂ ln(1,05) = ln(2)
  n₂ = ln(2) / ln(1,05) ≈ 14 ans
   
  2) durée avant la multiplication par 10 de la population :
  1,05^n₁₀ = 10
  ln(1,05^n₁₀) = ln(10)
  n₁₀ ln(1,05) = ln(10)
  n₁₀ = ln(10) / ln(1,05) ≈ 47 ans

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