E(X) = ∑ P(X=xi) xi
E(aX+b) = a E(X) + b
V(X) = ∑ P(X=xi) (xi − E(X))²
autre formule : V(X) = ∑ P(X=xi) xi² − E(X)²
(plus pratique quand on fait les calculs à la main, mais moins précise)
écart-type :σ[X] = √V(X) : écart à la moyenne , mesure la dispersion des valeurs.
Il permet d'estimer le risque d'obtenir une valeur extrême
d'où l'intervalle de confiance de la loi normale à 95% : [ xmoy − 1.96 σ, xmoy + 1.96 σ ]
le risque (la probabilité) d'obtenir une valeur en dehors de l'intervalle est de 5 % soit 0,05
V(aX+b) = a² V(X)
cov(X,Y) = E(XY) − E(X) E(Y)
V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y)
V(X+Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes
E(X) = 3 ; V(X) = 1
E(Y) = 8 ; V(Y) = 2
1) E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 11
2) E(6X) = 6 E(X) = 18
3) E(Y+3) = E(Y) + 3 = 11
4) E(4X+8) = 4 E(X) + 8 = 20
5) V(X+Y) = ? données insuffisantes on ne connaît pas cov(X,Y) ?
6) V(2X) = 4 V(X) = 4
7) V(−3Y+1) = 9 V(Y) = 18
1) E(X) = 0.1*(-1) + 0.2*2 + 0.4*3 + 0.3*4 = 2.7
E(Y) = 0.4*0 + 0.4*1 + 0.1*5 + 0.1*6 = 1.5
E(X+Y) = 2.7 + 1.5 = 4.2
2) V(X) = 0.1*(-1-2.7)**2 + 0.2*(2-2.7)**2 + 0.4*(3-2.7)**2 + 0.3*(4-2.7)**2 = 2.01
V(Y) = 0.4*(0-1.5)**2 + 0.4*(1-1.5)**2 + 0.1*(5-1.5)**2 + 0.1*(6-1.5)**2 = 4.25
V(X+Y) = 2.01 + 4.25 = 6.26
1) proba totale = 1.0
xmoy= 3.56 variance= 4.3864 sigma= 2.0943734146517428
2) proba totale = 1.0
xmoy= 3.55 variance= 2.5275 sigma= 1.5898113095584645
3) Adam va choisir le stand dont l'espérance de gain est la plus élevée : stand A
La question n'est pas pertinente ou incite à la discussion :
Si Adam n'aime pas le risque, il peut prendre le stand B
qui rapporte un peu moins mais dont les résultats sont plus resserrés.
La variance ou l'écart-type donne la largeur de la distribution de X
à la limite : variance = 0 : il n'y a pas d'incertitude : le tirage est toujours xmoy = E(X)
1) Le calcul de l'espérance inconnue : E(X) = f(a) ne permet pas de calculer a
La somme des probabilités doit être égale à 1
2) proba_tot= 1.0
xmoy= 2.0 variance= 31.20 sigma= 5.585696017507577