Matrices   (répertoire)

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• calcul de Aⁿ :
  • matrice identité : Iⁿ = I
  • matrice diagonale : Dⁿ

    D =	a	0	Dn =	an	0
    	0	b		0	bn

  • si on peut décomposer : A = I + T avec T matrice triangulaire supérieure,
    Tⁿ finit par devenir nulle.
    exemple en 2D :

    T =	0	a	T2 =	0	0
    	0	0		0	0

    exemple en 3D :

    T =	0	a	b	T2 =	0	0	a c	T3 =	0	0	0
    	0	0	c		0	0	0		0	0	0
    	0	0	0		0	0	0		0	0	0

    Aⁿ = (I + T)ⁿ = Iⁿ + n Iⁿ⁻¹ T + n(n−1)/2 Iⁿ⁻² T² + n(n−1)(n−2)/6 Iⁿ⁻³ T³
    Soit : Aⁿ = (I + T)ⁿ = I + n T + n(n−1)/2 T²
    application au 2D :

    A =	1	b	T =	0	b	An = I + n T =	1	n b
    	0	1		0	0		0	1

    application au 3D :

    A =	1	a	b	T =	0	a	b	T2 =	0	0	a c	An = I + n T + n(n−1)/2 T2 =	1	n a	n b + a c n(n−1)/2
    	0	1	c		0	0	c		0	0	0		0	1	n c
    	0	0	1		0	0	0		0	0	0		0	0	1

• Attention : le produit de matrices n'est pas commutatif
  exemple avec une matrice diagonale et une matrice triangulaire :

  D =	a	0	T =	0	c	D T =	0	a c	≠ T D =	0	b c
  	0	b		0	0		0	0		0	0

  (D + T)² = D² + D T + T D + T²
  (D + T)³ = D³ + D² T + D T D + T D² + T² D + T D T + D T² + T³
  par contre I commute avec toutes les matrices
• Calcul formel : A = a I + b N avec N² = 0
  • A² = a² I + 2 a b N   (car le terme b² N² = 0)
    Aⁿ = aⁿ I + n aⁿ⁻¹ b N   (car le terme b² N² et ses suivants = 0)
  • existe-t-il un inverse de la même forme ? inverse A⁻¹ = α I + β N
    A A⁻¹ = (a I + b N) (α I + β N) = I
    a α I + (a β + b α) N + b β N² = I
    ⇒ a α = 1   soit : α = 1/a
    ⇒ a β + b α = a β + b/a = 0   ⇒ β = − b/a²
    A⁻¹ = (1/a) I − (b/a²) N = (I − (b/a) N) / a
• X = a I + b J avec J² = − I   (même comportement que les nombres complexes)

  J =	0	−1	J2 =	−1	0
  	1	0		0	−1

  J³ = − J   et J⁴ = I

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