loi exponentielle   (répertoire)

• rappel : intrégration par parties : voir educastream
  (utile pour calculer l'espérance de la loi exponentielle)
  (u v)' = u' v + u v'   ⇒   u' v = (u v)' − u v'
  ∫ u' v dx = ∫ (u v)' dx − ∫ u v' dx
  ∫ u' v dx = [u v] − ∫ u v' dx
• Loi exponentielle résumé :

  densité de proba.	fonction de répartition	moyenne E(X)	écart-type σ(X)
  f(x) = λ e− λ x	F(x) = 1 − e− λ x	1 / λ	1 / λ

• densité : f(x) = λ e^{− λ x}   avec x ∈ [0; ∞ [
  f(x) = 0 sur ]−∞ ; 0[
• fonction de répartition : F(x) = ∫₀^x λ e^{− λ t} dt
  primitive de ∫ e^{a x} dx = (1/a) e^{a x}
  vérification : (1/a) (e^{a x})' = (1/a) a e^{a x} = e^{a x}
  comme pour la factorisation où on re-développait, on re-dérive.
  F(x) = − [e^{− λ t}]₀^x = − [e^{− λ x} − e⁰] = 1 − e^{− λ x}
  fonction qui croît bien de F(0) = 0 à F(∞) = 1
• espérance : E(X) = ∫₀^∞ x f(x) dx = ∫₀^∞ λ x e^{− λ x} dx   à intégrer par parties.
  ∫ u' v dx = [u v] − ∫ u v' dx
  E(X) est de la forme : E(X) = λ ∫ u' v dx   avec :
  u' = e^{− λ x} qui ne se complique pas en intégrant : u = − e^{− λ x} / λ
  v = x qui se simplifie en dérivant : v' = 1
  Comme pour les dérivées composées, il faut bien expliciter u, u', v, v'
  E(X) = λ [− x e^{− λ x} / λ]₀^∞ − λ ∫₀^∞ − e^{− λ x} / λ dx
  E(X) = 0 + [e^{− λ x} / (−λ)]₀^∞
  E(X) = (− 1 / λ) [e^−∞ − e⁰]
  E(X) = (1 / λ) [1 − 0] = 1 / λ
• variance V(X) = ∫₀^∞ (x − E(X))² f(x) dx = λ ∫₀^∞ (x − 1/λ)² e^{− λ x} dx
  • V(X) = λ ∫₀^∞ u' v dx
    avec u' = e^{− λ x}   donc : u = − e^{− λ x} / λ
    avec v = (x − 1/λ)²   donc : v' = 2 (x − 1/λ)
  • V(X) = λ [u v]₀^∞ − λ ∫₀^∞ u v' dx
    V(X) = λ [(x − 1/λ)² (− e^{− λ x} / λ)]₀^∞ − λ ∫₀^∞ 2 (x − 1/λ) (− e^{− λ x} / λ) dx
    V(X) = − [(x − 1/λ)² e^{− λ x}]₀^∞ + ∫₀^∞ 2 (x − 1/λ) e^{− λ x} dx
    [(x − 1/λ)² e^{− λ x}]₀^∞ = 0 − 1 / λ²
    V(X) = (1 / λ²) + ∫₀^∞ 2 (x − 1/λ) e^{− λ x} dx
  • intégration par parties de A = ∫₀^∞ 2 (x − 1/λ) e^{− λ x} dx
    A = ∫₀^∞ u' v dx
    avec u' = e^{− λ x}   donc : u = − e^{− λ x} / λ
    avec v = 2 (x − 1/λ)   donc : v' = 2
    A = [u v]₀^∞ − ∫₀^∞ u v' dx
    A = [2 (x − 1/λ) (− e^{− λ x} / λ)]₀^∞ − ∫₀^∞ 2 (− e^{− λ x} / λ) dx
    A = − 2 (0 − 1/λ)(− e⁰ / λ) + 2 ∫₀^∞ e^{− λ x} / λ dx
    A = − 2 / λ² + (2 / λ) [e^{− λ x}/ (− λ)]₀^∞
    A = − 2 / λ² + (2 / λ) [0 − e⁰/ (− λ)]
    A = − 2 / λ² + 2 / λ² = 0
  • V(X) = (1 / λ²)
    σ(X) = 1 / λ

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