Mathématiques Terminale S [répertoire]

• https://www.schoolmouv.fr/terminale/mathematiques
  Cours clairs sur Youtube : site j'ai compris .com : Nombres complexes
• Chapitre 1 · Algèbre et géométrie
  • 1 ·Factorielle, k-uplet, permutation et combinaison
    Factorielle : n! = 1×2×3×3× . . . ×n   exemple 5! = 120
    permutation = ordre des nombres de 1 à n   (1,2,3) ; (1,3,2) ; (2,3,1) . . . n! permutations possibles pour (1,2, . . . , n)
    premier nombre : n possibilités ; deuxième nombre (n−1) possibilités ; . . . ; dernier nombre 1 possibilité.
    Combinaison : p nombres parmi n sans tenir compte de l'ordre
      combinaisons de 3 parmi 5 : (1,2,3)=(1,3,2)=. . .=(3,2,1) , (1,2,4), (1,2,5), . . .
      5×4×3 / (3!) = 5! / (2! 3!) ; plus généralement nombre de combinaisons de p parmi n = n! / (p! (n−p)!)
     
  • 2 ·Droites, plans et vecteurs de l'espace
  • 3 ·Positions relatives de droites et de plans de l’espace
    parallèles ou sécants
  • 4 ·Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace
  • 5 ·Représentations paramétriques de droites et équations cartésiennes de plans de l’espace
    Droite : OM = OA + k V   (comme pour le plan avec une dimension en plus)
    Plan : OM = OA + λ U + μ V   ( U et V forment une base du plan)
      équations cartésienne : OA.OM = d   a x + b y + c z = d   OA = [a, b, c] est ⊥ plan
    la distance de l'origine au plan est d / ||OA||
    avec un vecteur unitaire : u = OA / ||OA||   :   u.OM = d = distance du plan à l'origine.
     
• Chapitre 2 · Analyse
  • 1 ·Raisonnement par récurrence : démontrer qu'une proposition P_n est vraie ∀ n ≥ n₀
    1.1) vérifier que P est vraie pour le premier n₀
    1.2) en supposant P vraie pour n, démontrer qu'alors P est vraie pour n+1
    1.3) conclure que le raisonnement par récurrence permet d'affirmer que P est vraie ∀ n ≥ n₀
  • 2 ·Limites de suites
  • 3 ·Limites de fonctions
  • 4 ·Dérivée de 2 fonctions composées
    h(x) = g( f(x) ) : h'(x) = dh/dx = dg/df × df/dx
    exemple : h(x) = exp(sin(x))   : f(x) = sin(x) ; g(f) = exp(f)   h'(x) = dg/df × df/dx = exp(f) × cos(x) = exp(sin(x)) × cos(x)
  • 5 ·Fonction convexe f(x)
    si la dérivée seconde f '' > 0   (centre de courbure vers le haut)
    si la dérivée seconde f '' < 0   :   la fonction est concave
    Point d'inflexion où f '' change de signe.
  • 6 ·Continuité des fonctions d’une variable réelle
    si limite de f(x) = f(a) quand x → a   (pas de saut)
    vidéo : Fonction continue :
  • 7 ·Fonction logarithme népérien (ln)
    ln est la fonction inverse de exp : x → y = exp(x) → ln(y) = ln(exp(x)) = x
    de même : x → y = ln(x) → exp(y) = exp(ln(x)) = x
    les courbes de ln(x) et exp(x) sont symétriques par rapport à la première diagonale.
  • 8 ·Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité
    ln(x) est définie sur ] 0 ; ∞ [ ; elle est continue et dérivable : ln(x) ' = 1/x
    ln(0) = −∞ à écrire : limite quand x → 0 de ln(x) = −∞
    ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 ; ln(e²) = 2 ; ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ; ln(aⁿ) = n ln(a)
    remarque : contraire de exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
  • 9 ·Fonctions cosinus et sinus
  • 10 ·Primitives F(x) = ∫ f(x) dx est l'aire sous la courbe de f(x)
    F '(x) = f(x)   F(x) est définie à une constante près dépendant du point de départ de l'aire.
    exemple : ∫₁^a x⁻¹ dx = ∫₁^a 1/x dx = ln(a) − ln(1) = ln(a)
    rappel : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)   si n ≠ −1
    le logarithme népérien vient combler le trou dans les primitives de xⁿ
  • 11 ·Calcul intégral
     
• Chapitre 3 · Probabilités
  • 1 ·Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli B(p) et binomiale B(n,p)
    Loi de Bernoulli : B(p) 2 résultats possibles : {0, 1} ou {Faux, Vrai} ; Proba : P(0) = 1−p ; P(1) = p
    Loi Binomiale : B(n,p) : n tirages de Bernoulli indépendants : résultats : {0, 1, . . . n}
      proba( k succès et n−k échecs) : P(k) = (k parmi n) p^k (1−p)^n−k
      exemple : 6 résultats/issues possibles pour k=2,n=4 : { 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011 }
  • 2 ·Sommes de variables aléatoires
  • 3 ·Loi des grands nombres et concentration
     
• Chapitre 4 · Option mathématiques expertes : Nombres complexes : définition de i : i² = −1
  • site j'ai compris .com : Nombres complexes
    NOMBRES COMPLEXES • Définition • Forme Algébrique d'un nombre complexe • Cours Terminale S
  • 1 ·Les nombres complexes d'un point de vue algébrique
    z = x + i y ; lors des opérations, quand on rencontre i², on le remplace par −1 ; donc i³ = −i et i⁴= 1
    les puissances de i sont les 4 racines quatrièmes de l'unité.
  • 2 ·Le point de vue géométrique des nombres complexes
    z = r cos(θ) + i r sin(θ) = r exp(i θ)
  • 3 ·Nombres complexes et trigonométrie
  • 4 ·Équations polynomiales et nombres complexes
    un polynôme de degré n possède n racines dans ℂ (qui peuvent être multiples)
    exemple : x² + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ mais a 2 solutions : i et −i dans ℂ
  • 5 ·Utilisation des nombres complexes en géométrie
     
• Chapitre 5 · Option mathématiques expertes : Arithmétique
  • 1 ·Divisibilité et congruences dans Z
    Congruence - comprendre la définition - arithmétique - Terminale Option Maths expertes - Cours
    divisibilité : b divise a quand le reste r = 0 ; le reste de la division euclidienne (a = b q + r) de a par b
      Visualisation : a est décomposé en cycle de b unités sur un cercle : il fait q tours entiers et il reste r
      a ≡ r modulo b
    Les congruences servent beaucoup en informatique : exemple l'horloge qui donne le temps modulo 12 heures,
    c'est-à-dire que lorsqu'on ajoute 12 h, l'horloge revient à la même position.
    en informatique, la taille des nombres est finie : exemple : les entiers codés sur 2 octets (16 bits) qui vont de 0 à 65535
    et 65535 + 1 = 0 car la retenue disparaît à gauche.
    Calcul du PGCD(a,b) : si a = b q + r, les diviseurs communs à a et b divisent r, donc PGCD(a,b) divise r
    on recommence : b = r q' + r' : comme PGCD(a,b) divise b et r, il divise r' . . .
    On arrête quand r = 0 : le dernier reste est le PGCD(a,b)
  • 2 ·PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss
    décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers : 24 = 2×2×2×3 ; 30 = 2×3×5
    PGCD = Plus Grand Commun Diviseur   ;   PGCD(24, 30) = 6   (produit des facteurs communs)
    PPCM = Plus Petit Commun Multiple   ;   PPCM(24, 30) = 120
    remarque : a × b = PGCD(a, b) × PPCM(a, b)
    Bézout : si 2 nombres a et b sont premiers entre eux (ils n'ont pas de diviseur commun à part 1),
    théorème de Bézout - comment trouver u,v dans au+bv=1 - arithmétique - spé Maths
      il existe u et v ∈ ℤ tels que : a u + b v = 1
      plus généralement : ∃ (u, v) : a u + b v = PGCD(a,b)
  • suite de Fibonacci : u_n+2 = u_n + u_n+1 avec u₀ = 0 ; u₁ = 1
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987
     
  • 3 ·Nombres premiers et petit théorème de Fermat
    nombre premier qui n'est divisible que par 1 et lui-même.
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .
    Fermat : si p est premier et a non multiple de p (donc premier avec p) : a^p ≡ a modulo p
      soit : ∃ k tel que : a^p = a + k p
     
• Chapitre 6 · Option mathématiques expertes : Graphes et matrices
  • 1 ·Calcul matriciel
  • 2 ·Graphes et matrices
  • 3 ·Suites de matrices colonnes
  • 4 ·Chaînes de Markov
     
• Chapitre 7 · Option mathématiques complémentaires : Analyse
  • 1 ·Suites numériques, modèles discrets et limites
  • 2 ·Limites de fonctions
  • 3 ·Continuité de fonctions
  • 4 ·Fonction logarithme népérien (ln)
  • 5 ·Compléments sur la dérivation
  • 6 ·Fonctions convexes
  • 7 ·Primitives et équations différentielles
  • 8 ·Intégration
     
• Chapitre 8 · Option mathématiques complémentaires : Probabilités et statistique
  • 1 ·Lois discrètes
  • 2 ·Lois à densité
  • 3 ·Statistique à deux variables
     

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