TST2S Bac Math Métropole Septembre 2009 Suites (Exercice 3)

• correspondance n ↔ année :
  • u₀ ↔ 2005
  • u_n ↔ 2005 + n
• u_n+1 = u_n + (15/100) u_n
  u_n+1 = u_n ( 1 + (15/100) ) = 1,15 u_n
  c'est la définition par récurrence d'une suite géométrique
• u_n pour 2008, 2015 :
  • suite géométrique : u_n = u₀ 1,15ⁿ
  • 2008 : 2005 + n = 2008 => n = 3
  • 2015 : 2005 + n = 2015 => n = 10
• résoudre : u_n > 10 000 :
  • 300 × 1,15ⁿ > 10 000
  • 1,15ⁿ > 10 000 / 300
  • log 1,15ⁿ > log ( 10 000 / 300 )
  • n log 1,15 > log ( 10 000 / 300 )
  • log 1,15 = 0.06 > 0 => on peut diviser par log 1,15 en gardant le sens de l'inéquation
  • n > log ( 10 000 / 300 ) / log 1,15 = 25,09
  • les 10 000 seront dépassés peu après le début de la 26^ème année.
  • soit au cours de l'année 2005 + 26 = 2031
• somme de suite géométrique :
  • 2008 : 2005 + n = 2008 => n = 3
  • 2015 : 2005 + n = 2015 => n = 10
  • S = u₀ ( 1 − 1,15ⁿ⁺¹ ) / ( 1 − 1,15 )
  • S(3) = 300 ( 1 − 1,749) / (−0,15 ) = 300 × (−0,749) / (−0,15) = 300 × 0,749 / 0,15 = 1498
• coût du traitement : c₀ = 400 et c_n+1 = c_n − 5
  • c'est la définition d'une suite arithmétique de raison r = −5
  • c_n = c₀ + n r = c₀ − 5 n
  • en 2008 : 2005 + n = 2008 ↔ n = 3
  • c₃ = 400 − (5 × 3 ) = 385 € pour un malade
• coût global annuel :
  • en 2005 ( n = 0 ) nombre de malades = 300, coût pour un malade = 400 € => Coût total = 300 × 400 = 120 000 €
  • on nous a fait calculer le nombre total de malades dans une question précédente : c'est ici qu'il faut l'utiliser :
    en 2006, les malades de 2005 ne sont pas guéris ( le traitement traite les symptômes, mais ne guérit pas )
  • en 2006 ( n = 1 ) nombre de malades = 300 + 345, coût pour un malade = 395 € => Coût total = 645 × 395 = 254 775 €
• coût global 2009
  • en 2009 : 2005 + n = 2009 ↔ n = 4
  • coût par malade = 400 − 5 × 4 = 380 €
  • nombre de malades : S(4) = 300 ( 1 − 1,15⁵ ) / ( 1 − 1,15 ) = 2023
  • coût global = 2023 × 380 = 768 740 € ≤ 1 000 000 €
  • le budget sera suffisant
• excel : ( utiliser l'ordinateur avec Excel pour vérifier )
  • dans la colonne A : A2 = 2005 et A3 = A2 + 1
  • dans la colonne B : B2 = 300 et B3 = B2 * 1,15
  • nombre total de malades : C3 = C2 + B3   ( définition par récurrence si B est calculée )
  • dans la colonne D : D2 = 400 et D3 = D2 − 5
  • coût total du traitement : E2 = C2 * D2
  • sur l'ordinateur, on vérifie que l'on retrouve bien les chiffres calculés, en particulier : coût global = 768 740 € en 2009
    en fait : 768 631 car excel n'a pas arrondi le nombre de malades à un entier.

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