Cours du Dimanche 17 Janvier 2010 TST2S

• radio-activité : la radioactivité (freescience)
  • isotopes : noyaux ayant le même nombre de protons, donc la même charge électrique, donc les mêmes propriétés chimiques. Ils diffèrent par le nombre de neutrons.
  • l'iode 131 est radioactif β⁻ : donc il émet un électron (e⁻)
  • dans une réaction, se conservent :
    1. le nombre de nucléons : protons + neutrons. Ils peuvent se transformer l'un dans l'autre.
    2. la charge électrique :
       • si un proton(+) se tranforme en neutron (charge=0), il y a apparition d'un positron e⁺ pour garder la charge +
       • si un neutron (charge=0) se tranforme en proton(+), il y a apparition d'un électron e⁻ pour maintenir la charge nulle.
  • période T : N(t) = N₀ × 2^{−t / T}. Pendant chaque période, la moitié des noyaux se désintègrent.
    C'est une exponentielle décroissante.   (N(t) = N₀ × a^t avec a = 2^{−1 / T} < 1)
    • après une durée d'une période (t=T) : N(T) = N₀ 2⁻¹ soit : N(T) = N₀ / 2
    • après une durée de 2 périodes (t=2T) : N(2T) = N₀ 2⁻² soit : N(2T) = N₀ / 4
    • après une durée de 3 périodes (t=3T) : N(3T) = N₀ 2⁻³ soit : N(3T) = N₀ / 8
    • après une durée de n périodes (t=nT) : N(nT) = N₀ 2⁻ⁿ soit : N(nT) = N₀ / 2ⁿ
    • u_n = N(nT) est une suite géométrique de raison q=1/2 (donc décroissante car q < 1).
• exponentielle à base 10 (ou puissances de 10) : présentation des exponentielles
  f(x) = 10^x est une fonction :
  • définie sur tout R : D_f = ]−∞ ; +∞[
  • strictement croissante ( car 10 > 1 )
  • toujours positive : 10^x > 0 pour tout x.
  • 10^a × 10^b = 10^{a + b}
  • valeurs particulières :

    x =	−∞	−2	−1	0	1	2	3	+∞
    10x =	0	1 / 100	1 / 10	1	10	100	1000	+∞

• logarithme décimal log(x) : C'est la fonction inverse de 10^x
  f(x) = log(x) est une fonction :
  • définie sur : D_f = ]0 ; +∞[ Soit : x > 0
  • strictement croissante

  • x =	0	1	+∞
    log(x)	−	0	+
    	négative : pour 0 < x < 1		positive : pour x > 1

  • log(a × b) = log(a) + log(b)
  • log(aⁿ) = n × log(a)
  • valeurs particulières :

    x =	0	1	10	100	1000	+∞
    log(x) =	−∞	0	1	2	3	+∞

• exponentielle à base a :
  f(x) = a^x (avec a > 0) est une fonction :
  • définie sur tout R : D_f = ]−∞ ; +∞[
  • toujours positive : a^x > 0 pour tout x.
  • a^α × a^β = a^{α + β}
  • a^α × b^α = (a × b)^α
  • si a > 1 : strictement croissante ( on multiplie par a > 1 ) elle croît de 0 (pour x=−∞) à +∞ (pour x=+∞)

    valeurs particulières si a > 1 :	x =	−∞	0	1	+∞
    	ax =	0	1	a (>1)	+∞

  • si a < 1 : strictement décroissante ( on multiplie par a < 1 ) elle décroît de +∞ (pour x=−∞) à 0 (pour x=+∞)

    valeurs particulières si a < 1 :	x =	−∞	0	1	+∞
    	ax =	+∞	1	a (<1)	0

  • si a = 1 : constante : 1^x = 1 pour tout x
• Recopie de l'exercice de la leçon précédente : Bac ST2S 2009 Réunion Math : énoncé
  • Exercice 1 :

    suite géométrique : un+1 = un × q	croissante si q > 1 décroissante si q < 1	on multiplie par	q > 1 q < 1	à chaque fois	(exponentielle)
    suite arithmétique : un+1 = un + r	croissante si r > 0 décroissante si r < 0	on ajoute	r > 0 r < 0	à chaque fois	(droite)

    Résoudre : 10¹⁰ × 0,25ⁿ < 100
    on en prend le logarithme décimal : 10 log(10) + n log(0,25) < log(100)
    log(10) = 1 (définition du logarithme décimal)
    log(100) = log(10²) = 2 log(10) = 2 × 1 = 2 (propriété des log.)
    n log(0,25) < −8
    log(0,25) < 0 (propriété des log.) => n > −8 / log(0,25) = 13,3

    x	0	1	+∞
    log(x)	croissante
    log(x)	−∞     &minus	0	+     +∞

• sur le site http://www.2amath.fr : corrigé du bac précédent.
  fichiers pdf du Bac ST2S 2009 Réunion Math (Tu peux faire le 3ème exercice, il n'y a ni log( ) ni exp( ))
    énoncé   corrigé