ST2S dérivées

• dérivées simples f(x) :

  f(x) =	a	x	x2	x3	xn	√ x	(=x1/2)	1 x	(=x−1)	1 xn	(=x−n)	1 √ x	(=x−1/2)
  f '(x) =	0	1	2 x	3 x2	n xn−1	1 2 √ x	(1/2) × x−1/2	− 1 x2	− x−2	− n xn+1	− n × x−n−1	− 1 2 √ x 3	−(1/2) × x−3/2

• dérivées composées f(u(x)) : Ce sont les mêmes formules que ci-dessus en remplaçant x par u et en multipliant par u'

  Car f '(u(x)) = lim

  Δf Δx

  = lim

  Δf Δ u

  ×

  Δ u Δx

  =

  f '(u) × u'

  f(x) =	u	u2	u3	un	√ u	(=u1/2)	1 u	(=u−1)	1 un	(=u−n)
  f '(x) =	u'	2 u u'	3 u2 u'	n un−1 u'	u' 2 √ u	(1/2) × u−1/2 u'	− u' u2	− u−2 u'	− n u' un+1	− n × u−n−1 u'

  Exemple : f(x) =	1 x2 + 1	=	1 u	avec :	u = x2 + 1	et :	u' = 2 x	d'où : f '(x) =	− u' u2	=	− 2 x ( x2 + 1 ) 2

• dérivées composées f(u(x),v(x)) :

  f(x) =	u + v	u × v	u v
  f '(x) =	u' + v'	u' v + u v'	u' v − u v' v2

  Exemple : f(x) =	2 x x2 + 1	=	u v	avec :	u = 2 x v = x2 + 1	et :	u' = 2 v' = 2 x	d'où : f '(x) =	u' v − u v' v2	=	2 ( x2 + 1 ) − 2 x × 2 x ( x2 + 1 ) 2	=	− 2 x2 + 2 ( x2 + 1 ) 2

  f '(x) =	2 ( − x2 + 1 ) ( x2 + 1 ) 2	=	2 ( 1 - x ) ( 1 + x ) ( x2 + 1 ) 2

• devoir SMS 1 :     énoncé     corrigé
• devoir SMS 2 :     énoncé     corrigé