Cours TST2S étude de fonctions

• étude de fonctions (freescience.fr)
• D_f : domaine de définition

  f(x)	points interdits		Df
  1 2x+3	2x+3 = 0	x = −3/2	]−∞ ; −3/2[ union ]−3/2 ; +∞[
  √2x+3	2x+3 < 0	x < −3/2	[−3/2 ; +∞[
  log(2x+3)	2x+3 ≤ 0	x ≤ −3/2	]−3/2 ; +∞[

• Calcul des points particuliers :
  • intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (Ox) : équation y = f(x) = 0 → donne des valeurs pour x
    Il s'agit de l'axe Ox, c'est à dire la droite d'équation y=0.
    Il faut donc résoudre l'équation : y = f(x) = 0.
  • intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées (Oy) : équation x = 0 => y = f(0)
  • calculer le point d'abscisse a : x = a → y = f(a)     Graphiquement : intersection entre C_f et la verticale x = a
  • calculer le point d'ordonnée a : y = a → résoudre a = f(x)     Graphiquement : intersection entre C_f et l'horizontale y = a
  Pour une fraction rationnelle (c'est à dire le quotient de 2 polynômes), il faut que le numérateur soit nul,
  (et le dénominateur non nul, ce que l'on vérifiera quand on aura les racines du numérateur).
  En général, le numérateur est au plus une équation du second degré.
• tableau de variation : calculer la dérivée f '(x)

  f '(x) > 0	f '(x) = 0	f '(x) < 0
  f(x) est croissante	f(x) est horizontale	f(x) est décroissante

• recherche des extrema :
  points de la courbe où la dérivée est nulle et la courbe présente soit un minimum local, soit un maximum local.
  Comme la dérivée est nulle, la tangente a une pente nulle : la tangente est horizontale.
  On voit sur le tableau de variation :
  • minimum : la courbe décroît avant le minimum puis croît après.
  • maximum : la courbe croît avant le maximum puis décroît ensuite.
  • Si la courbe traverse la tangente horizontale, c'est n'est pas un extremum.
• calcul de la tangente au point (a,f(a)) de la courbe : équation : y = f(a) + (x − a)f '(a)
  cette droite passe par le point (a, f(a)) ; sa pente est f '(a)
• position relative de 2 courbes correspondant aux fonctions f(x) et g(x) :
  on étudie le signe de : f(x) − g(x) en factorisant cette expression
  si f(x) − g(x) > 0 alors f(x) > g(x) : f(x) est au-dessus de g(x)
  si f(x) − g(x) < 0 alors f(x) < g(x) : f(x) est au-dessous de g(x)
  Un cas particulier est la position de la courbe par rapport à sa tangente : on étudie le signe de f(x) − y(x) = f(x) − a x − b
• Tracé de la courbe : attention aux unités.     exemple 1 cm = 1000 habitants ou 5 cm = 1 individu