Probabilités   [répertoire]

• Calculatrice : Evaluer
   
• Révision pourcentages :
  • 2 jours d'absence sur 5 : taux d'absentéisme ?
    τ = 2/5 = (2×20)/(5×20) = 40/100 = 40% = 0,4
  • 3 boules vertes dans une urne contenant 12 boules : proba de tirer une boule verte ?
    (= taux de boules vertes 😊)
    P(verte) = 3/12 = 1/4 = (1×25)/(4×25) = 25/100 = 25% = 0,25
     
  • Une réduction de 20% correspond à une baisse de 12 €. Quel était le prix initial ?
    Traduction de l'énoncé littéraire en équations :
    soit Pi le prix initial et Pf le prix final :
    traduction des données de l'énoncé : Pf = (1 − 0,20) Pi = Pi − 12 €   (équations à résoudre)
    Plus simple : Réduction = 12 € = 0,20 Pi   ⇒   Pi = 12 € / 0,20 = (12 €×5) / (0,20×5) = 60 €
    Pf = Pi − 12 € = 44 €
    méthode artisanale des règles de trois : (ok si le problème est linéaire)
    (12 € ↔ 20%)   →(×5)→   (60 € ↔ 100%)
     
  • Règle de trois (méthode en 2 étapes) :
    5 ananas coûtent 45 €   ;   Combien coûtent 2 ananas ?
    1) On se ramène à 1 ananas : 1 ananas coûte 5 fois moins : 45 / 5 = 9 €
    2) Puis on passe à 2 : 2 ananas coûtent 2 fois plus : 9 × 2 = 18 €
    Remarque : S'il y a des réductions selon la quantité achetée,
      le problème n'est plus linéaire, la règle de trois ne marche plus.
     
  • Après une augmentation de 15% : Quelle réduction appliquer pour revenir au prix initial ?
    soient Pi et Pf les prix initial et final : Pf = 1,15 Pi
    Nouveaux prix initial et final : Pi' = Pf et Pf' = Pi  (échange)
    τ = (Pf' − Pi') / Pi'
    τ = (Pi − Pf) / Pf
    τ = (Pi − 1,15 Pi) / 1,15 Pi
    τ = (1 − 1,15) / 1,15     ( = 1/1,15 − 1)
    τ = -0,15 / 1,15 ≈ -0,13 = -13%
    En raisonant sur les coef. multiplicateurs :
      augmentation Pi × 1,15   ;   réduction pour annuler Pf / 1,15
      puis (1/1,15) − 1 pour avoir le pourcentage ≈ -0,13
     
• Probabilités :
  tableau à double entrée des effectifs :

  Vente	Bio	Non Bio	total
  Orange	30	40	70
  Mandarine	50	80	130
  total	80	120	200

  4 sous-ensembles élémentaires : O ∩ B ; O ∩ B ; M ∩ B ; M ∩ B
  Ils sont disjoints et leur réunion = l'ensemble total
   
  tableau à double entrée des probabilités : calcul des probabilités à partir des effectifs
  probabilité(X) = effectif(X) / effectif(total) = effectif(X) / 200

  Vente	Bio	Non Bio	total
  Orange	0,15	0,20	0,35
  Mandarine	0,25	0,40	0,65
  total	0,40	0,60	1

  1 = P(O ∩ B) + P(O ∩ B) + P(M ∩ B) + P(M ∩ B)
  
  Probabilités totales : P(O) = P(O ∩ B) + P(O ∩ B) = 0,15 + 0,20 = 0,35
  → On additionne toutes les probabilités élémentaires contenant "O"
  de même : P(M) = P(M ∩ B) + P(M ∩ B) = 0,25 + 0,40 = 0,65
   
  Probabilités conditionnelles : P_O(B)
  L'ensemble de départ est maintenant celui des Oranges (sachant O) :
  à partir des effectifs : P_O(B) = 30 / 70 ≈ 0,43 = 43%
  ou des probas : P_O(B) = P(O ∩ B) / P(O) = 0,15 / 0,35 ≈ 0,43 = 43%
   
• arbre 1 :

  	O / M	B / B	Proba
  1	↗ P(O) = 0,35	↗ PO(B) = 30/70 ≈ 0,43	P(O ∩ B) = 0,35 × 0,43 ≈ 0,15
  		↘ PO(B) = 40/70 ≈ 0,57	P(O ∩ B) = 0,35 × 0,57 ≈ 0,20
  	↘ P(M) = 0,65	↗ PM(B) = 50/130 ≈ 0,38	P(M ∩ B) = 0,65 × 0,38 ≈ 0,25
  		↘ PM(B) = 80/130 ≈ 0,62	P(M ∩ B) = 0,65 × 0,62 ≈ 0,40

   
• arbre 2 :

  	B / B	O / M	Proba
  1	↗ P(B) = 0,40	↗ PB(O) = 30/80 ≈ 0,38	P(O ∩ B) = 0,40 × 0,38 ≈ 0,15
  		↘ PB(M) = 50/80 ≈ 0,62	P(M ∩ B) = 0,40 × 0,62 ≈ 0,25
  	↘ P(B) = 0,60	↗ PB(O) = 40/120 ≈ 0,33	P(O ∩ B) = 0,60 × 0,33 ≈ 0,20
  		↘ PB(M) = 80/120 ≈ 0,67	P(M ∩ B) = 0,60 × 0,67 ≈ 0,40

  vérifications : P_B(O) + P_B(M) = 0,38 + 0,62 = 1 ok . . .
  P(B) = 0,15 + 0,25 = 0,40 ok . . .
   
• réunion de sous-ensembles : proba(Orange OU Bio)
  • Addition des proba. élémentaires :
    P(O ∪ B) = P(O ∩ B) + P(O ∩ B) + P(M ∩ B) = 0,15 + 0,20 + 0,25 = 0,60
  • autre méthode : complément de (M ET B) :
    P(O ∪ B) = 1 − P(M ∩ B) = 1 − 0,40 = 0,60
  • Autre Formule :
    P(O ∪ B) = = P(O) + P(B) − P(O ∩ B) = 0,35 + 0,40 − 0,15 = 0,60
    Car avec P(O) + P(B), on a compté 2 fois P(O ∩ B), qu'il faut retirer 1 fois.

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