cours du 07/12/2025 (dérivées)   [répertoire]

• Différents types de moyennes :
  moyenne arithmétique (habituelle) :
    n x_moy = x₁ + x₂ + . . . + x_n
    x_moy = (1/n) Σ x_k   for k in [1..n]
  moyenne géométrique de 2 nombres a et b :
  moy² = a b
  moy = √a b
  Pour 3 nombres a, b, c
  moy³ = a b c
  n nombres : a_moyⁿ = a₁ · a₂ · . . . · a_n = ∏ a_k   for k in [1..n]
  Mnémotechnie : analogie avec la moyenne arithmétique :
  n · a_moy = a₁ + a₂ + . . . + a_n

  arithmétique	somme a + b	produit n × a
  géométrique	produit a × b	puissance an

  cas d'application : variations sucessives +10% + 5% −7%
  Prix initial p₀, prix final p₁ = p₀ · 1.10 · 1.05 · 0.93
  Quel serait le coefficient multiplicateur unique q (pour une variation) qui donnerait le même résultat
  Nombre de variations = 3
  p₁ = p₀ q³
  par comparaison : q³ = 1.10 · 1.05 · 0.93
  et q = (1.10 · 1.05 · 0.93)^1/3
  On pourrait modéliser l'évolution du prix par une suite géométrique moyenne de raison q
    si les variations successives étaient à intervalles réguliers et de valeurs voisines.
   
  lien internet : Savoir calculer la moyenne géométrique de plusieurs nombres réels positifs.
  http://maths.desfontaines.free.fr/IMG/pdf/e4-9.pdf
  Remarque :
  avec les logarithmes : log(q³) = 3 log(q) = log(1.10 · 1.05 · 0.93) = log(1.10) + log(1.05) + log(0.93)
  logarithme(moyenne géométrique) = moyenne arithmétique(logarithmes)
  car les logarithmes transforment les produits en sommes : log(a × b) = log(a) + log(b)
   
• dérivées :
  notations f '(x)   OU   df(x)/dx   ou   d/dx f(x)
  cas f(x,y) : df/dx ≠ df/dy   :   d/dx est une notation plus générale
  on précise par rapport à quelle variable on dérive, les autres variables étant constantes.
  f(u(x)) : on peut dériver par rapport à u : df/du ou par rapport à x : df/dx = df/du · du/dx
  justification : df/dx = limite de Δf / Δx quand Δx → 0
  Δf / Δx = (f(b) − f(a)) / (b − a) est la coeff. directeur de la sécante passant par A et B de la courbe.
  quand b → a, la sécante devient la tangente en A.
  son ceff. directeur est (df/dx)(a), la dérivée de la donction f(x) pour x=a
   
• support de cours : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19Deri1TM.pdf
  Calculatrice :   =   "
  "
  Limite : fonction f(x) = sin(x) / x ∀ x ≠ 0
  étude de la la limite quand x tend vers 0 (x → 0)

  x	1	0.5	0.1	0.01	0.001
  f(x)	0.84	0.958	0.9983	0.99998	0.9999998

  La limite de f(x) quand x → 0 est 1   :   on se rapproche indéfiniment de 1,
    aussi près que l'on veut de 1, il suffit de rapprocher x de 0.
  Remarque : quand la limite existe,
  on peut définir (par continuité) la fonction f sur ℝ   (∀ x) :
  f(x) = sin(x) / x ∀ x ≠ 0
  et f(x) = 1 pour x = 0
   
  dérivée de f(x) = a : df/dx = lim (f(x+h) − f(x)) / h = lim (a − a) / h = lim 0 = 0
    y = a est une droite horizontale : son coef. dir. = 0
  dérivée de f(x) = a x + b : df/dx = lim (f(x+h) − f(x)) / h = lim (a(x+h) − a x) / h = lim a = a
    y = a x + b est une droite de coef. dir. = a
  si le coef. dir. a > 0 : la droite "monte", si a < 0 : la droite "descend", si a = 0 : elle est horizontale.
  dérivée de f(x) = x² : f '(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h = lim ((x+h)² − x²) / h
  f '(x) = lim (x² + 2xh + h² − x²) / h = lim (2xh + h²) / h = lim 2 x + h = 2 x quand h → 0
  Equation de la tangente au point A (a, f(a)) : soit M(x,y) le point courant de la tangente
  coef. dir. = f '(a) = Δy / Δx = (y − f(a)) / ( x − a)
  y − f(a) = f '(a) ( x − a)
  y = f '(a) ( x − a) + f(a)
   
• support de cours : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19Deri2TM.pdf
  dérivée de xⁿ : (xⁿ) ' = n xⁿ⁻¹
  (x+h)ⁿ = xⁿ + n xⁿ⁻¹ h + n(n−1)/2 xⁿ⁻² h² + . . . + hⁿ
  ((x+h)ⁿ − xⁿ) / h = n xⁿ⁻¹ + h ( . . . ) → n xⁿ⁻¹ quand h → 0
  cette formule est valable ∀ n : positif, négatif, fractionnaire
  n < 0 :
  (1/x)' = (x⁻¹)' = −1 · x⁻² = −1 / x²
  n = 1/2 :
  (√x)' = d/dx(x^1/2) = (1/2) x^−1/2 = (1/2) 1 / x^1/2 = 1 / (2√x )
   
  dérivées des fonctions complexes :
  d/dx(f(u(x)) = df/dx = df/du · du/dx
  soit une fonction u : d/dx(u(x)) = u'(x)
  f(x) = (u(x))²   et   f(u) = u²
  df/du = f '(u) = 2 u   et   du/dx = u'
  (u²)' = df/dx = df/du · du/dx = 2 u u'
  Attention : f(u) = u² ≠ f(x) = f(u(x))   (ce ne sont pas des fonctions de la même variable)
  par exemple : avec u(x) = sin(x) : f(u) = u²   et   f(x) = (sin(x))²
  u'(x) = cos(x), alors f '(x) = (u(x))²' = 2 u(x) u'(x) = 2 sin(x) cos(x)
   
  dérivées d'une somme, d'un produit de 2 fonctions
  (u + v)' = u' + v'
  (u · v)' = u'v + uv'
  (u / v)' = (u'v − uv') / v²
  Remarque : u / v est le produit u · v⁻¹
  u / v = u · v⁻¹ → (u/v)' = (u · v⁻¹)' = u' · v^-1 + u · (v⁻¹)'
  où (v⁻¹)' = − v' / v²
  d'où : (u/v)' = u' · v^-1 − u · v' / v² = u' / v − u · v' / v² = (u' v − u v') / v²
  u fonction de x : (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u'
   
  Etude d'une fonction polynomiale : y = 2 x³ − 3 x² + 6
  y ' = 2 · 3 x² − 3 · 2 x + 0 = 6 x² − 6 x = 6 x (x − 1)
  étude du signe de la dérivée :

  x	−∞		0		1		∞
  signe(6)	+		+	+	+	+
  signe(x)	−		0	+	+	+
  signe(x−1)	−		−	−	0	+
  signe(f(x))	+		0	−	0	+
  f(x)	↗		max	↘	min	↗

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