cours du 24/01/2026 (Excel, équations, exponentielles)   [répertoire]

• Parcoursup : BUT, DUT, BTS, Licence (sécurité)
   
• Excel :
  question 5.a et 5.b du contrôle
  → tester les réponses dans un formulaire Excel
  B2 = B2+15 → Err: 522 dans Libre Office Calc
  Erreur détectée même avec B2=B3+15 et B3=B2+15
  Quand on met une formule dans une case, la valeur précédente est remplacée
  Excel sait si une case contient une valeur OU une formule.
  Une case ne peut pas se référer à elle-même (non définie)
   
  traduire la formule u_n+1 = u_n + 15 en Excel
  pour une recopie vers la droite !
  ATTENTION, habituellement, on recopie vers le bas : (C2 = C1 + 15)
  dans la case C2 (u_n+1 =) il faut se référer à u_n (case précédente : B2) C2 = B2 + 15
  traduire la formule u_n+1 = 1.04 u_n en Excel
  pour une recopie vers la droite,
  dans la case C3 (u_n+1 =) il faut se référer à u_n (case précédente : B3) C3 = 1.04 * B3
   
  remarque : répondre exactement aux questions (risque de perte de point)
  question 2.c) exprimer u_n en fonction de n :
  u_n = u₀ + R n   répond à la question exprimer u_n en fonction de n, u₀, R   (∀ n, u₀, R)
  OK car R et u₀ ont été définis avant
  réponse exacte : u_n = 1200 + 15 n
  question 4.c) u_n = u₀ qⁿ   puis u_n = 1000 × 1.04ⁿ
   
• équations :
  • x + a = b
    On retranche a à chaque membre : (x+a)−a = x   ⇒   x = b − a
  • a x = b
    On divise chaque membre par a : (ax)/a = x   ⇒   x = b / a
  • x^a = b
    On prend la racine a-ième de chaque membre : (x^a)^1/a = x^a/a = x¹ = x
    ⇒   x = b^1/a = ^a√b   (racine a-ième de b)
  • a^x = b
    On prend le logarithme de chaque membre : log(a^x) = x log(a)
    x log(a) = log(b) ⇒   x = log(b) / log(a)
     
• Interpolation géométrique :
  u_n+1 = q u_n   avec u₀ = 1
  u_n = u₀ qⁿ   avec n ∈ ℕ
  on peut interpoler (géométriquement) entre les points (n, u_n) avec une fonction exponentielle
    →   f(x) = u₀ q^x   ∀ x ∈ ℝ   à condition que q > 0
  f(n) = u₀ qⁿ = u_n
   
  suite : 1, 2, 4, 8, . . .   (u₀ = 1 ; q = 2)
  u_n+1 = 2 u_n
  u₀ = 1 ; u₁ = 2 ; u₂ = 4 ; u₃ = 8
  remarque : taux d'évolution sur 10 ans = 1 = 100 %
   
  interpolation géométrique (par une suite géométrique) tous les 5 ans entre u₁ et u₂
  calcul de u(1,5) : u₁ = 2   →(×q)→   u_1,5   →(×q)→   u₂ = 4
  u₂ = q² u₁ = 2 u₁
  résoudre : q² = 2   (définition de la racine carrée de 2)
  q = √2 ≈ 1,414
  u_1,5 = √2 u₁ = 2 √2
    Vérification : q u_1,5 = √2·2·√2 = 2·2 = 4 = u₂   (ok)
  remarque : taux d'évolution sur 5 ans : 0,414 = 41,4 %
  C'est aussi la moyenne géométrique entre u₁ et u₂ : u_1,5² = u₁ u₂ = 8
  u_1,5 = √8 = √2 × 4 = 2 √2
   
  interpolation géométrique par année : dix fois (× coef. mult.) dans la décennie
  u₁ = 2   →(×q)→   . . . 10 fois . . .   →(×q)→   u₂ = 4
  u₂ = q¹⁰ u₁ = 2 u₁
  résoudre : q¹⁰ = 2   solution : q = 2^1/10 = 2^0,1 ≈ 1,0718
  u_1,2 = (2^0,1)¹² u₀
  remarque : taux d'évolution annuel : 0,0718 = 7,18 %
   
  interpolation géométrique par jour : 3652,5 fois (× coef. mult.) dans la décennie
  en comptant : 1 an = 365,25 jours ; donc 10 ans = 3652,5
  évolution sur 1 journée : coef. multiplicateur 2^1/3652,5 ≈ 1,00019
  Vérification : (2^1/3652,5)^3652,5 = 2¹ = 2
  remarque : taux d'évolution quotidien : 0,00019 = 0,019 %

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