cours du 07/02/2026 (dérivées, tangentes)   [répertoire]

• Parcoursup : BUT, DUT, BTS, Licence, Master (sécurité)
   
• Fonctions simples :
  Toutes les fonctions qui se ramènent à x^a
  (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹   ∀ n ∈ ℝ
  cas n < 0 :
  (1/x)' = (x⁻¹)' = −1 x⁻² = −1/x²
  cas n fractionnaire :
  (√x)' = (x^1/2)' = 1/2 x^−1/2 = 1/(2√x)
   
• Fonctions composées :
  f(u(x)) : df/dx = df/du · du/dx
  exemple : f(x) = (x²+1)³
  f(u) = u³   avec : u(x) = x²+1   donc   u'(x) = 2 x
  df/du = 3 u²   df/dx = df/du · du/dx = 3 u² u'
  f '(x) = df/dx = 3 (x²+1)² 2 x
  f '(x) = 6 x (x²+1)²
   
• Fontions somme :   avec u = u(x) et v = v(x)
  f(x) = u + v   ⇒   (u + v)' = u' + v'
  f(x) = u v   ⇒   (u v)' = u' v + u v'
  f(x) = u / v   ⇒   (u / v)' = (u' v − u v') / v²
  Application : calculer la dérivée de f(x) = (x+1)/(x−1) pour (x ≠ 1)
    définition de u et v : f(x) = u / v avec u = x+1 et v = x−1
    dérivées : u' = 1 et v' = 1
    formule appliquée : f '(x) = (u' v − u v') / v² = (1·(x−1) − (x+1)·1) / (x−1)²
    f '(x) = (x − 1 − x − 1) / (x−1)² = −2 / (x−1)²
   
  retrouver la dérivée du produit :   avec du = u' dx et dv = v' dx
  où dx, du, dv, df sont des infiniments petits
  df/dx = ((u+du) (v+dv) − u v) / dx = (du v + u dv + du dv) / dx = u' v + u v' + 0
    car : du dv ≪ dx   en effet : du dv / dx = u' dv → 0
   
  retrouver la dérivée du quotient :   avec (u v)' = u' v + u v'
  Un quotient est le produit par l'inverse
  (u / v)' = (u · 1/v)' = u' · 1/v + u (1/v)'
  . . . = u' / v + u (−v'/v²) = (u' v − u v') / v²
   
• Tangente à une courbe f(x), au point A = (a, f(a)) :
  Soit M = (x,y) le point courant de la tangente :
  équation du type : y = α x + β
  1) coefficient directeur de la tangente au point A : α = f '(a)
    équation de la tangente : y = f '(a) x + β
  2) le point A ∈ la tangente :
    A = (a, f(a)) vérifie l'équation de la tangente

  équation :	y = f '(a) x + β
  A ∈ la tangente :	f(a) = f '(a) a + β
  par soustraction :	y − f(a) = f '(a) (x − a)

  Soit : y = f(a) + f '(a) (x − a)
  Autre approche :
  Soit M = (x,y) le point courant de la tangente :
  f '(a) = Δy / Δx = (y − f(a)) / (x − a)
  d'où : y − f(a) = f '(a) (x − a)
  Soit : y = f(a) + f '(a) (x − a)
   
  Application : tangente à la courbe de f(x) = x³ au point A d'abscisse a = 2 ?
  f(x) = x³   ⇒   f(2) = 8
  f '(x) = 3 x²   ⇒   f '(2) = 12
  équation de la tangente : y = f(2) + (x − 2) f '(2)
  y = 8 + 12 (x − 2) = 8 + 12 x − 24
  y = 12 x − 16
  On vérifie que A ∈ la tangente : y(2) = 12 · 2 − 16 = 24 − 16 = 8 = f(2)   (ok)

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