cours du 21/02/2026 (Somme de suite Arithmétique)   [répertoire]

• (rappel) Suite Arithmétique : A(u₀, r)
  formulation par récurrence : u₀ et u_n+1 = u_n + r
  formulation explicite : u_n = u₀ + n r
   
• Somme de suite Arithmétique :
  S_n = u₀ + u₁ + . . . + u_n
  Astuce :
  On ré-écrit les termes de la suite dans l'ordre inverse A(u_n, −r)
  On additionne terme à terme : on remarque que (u₀ + u_n) = (u₁ + u_n-1) = . . .
  Tous les termes de la somme sont égaux puisqu'une suite ajoute r et l'autre retire r
  nombre de termes à additionner : n si l'on va de [1 à n]
    MAIS   n+1 si l'on va de [0 à n] : le terme 0 doit être ajouté au décompte.
  (On compte le nombre de positions : la position 0 est une position à part entière)

  Sn = u0 + u1 + . . . + un Sn = un + un-1 + . . . + u0 2 Sn = (u0 + un) + (u0 + un) + . . . + (u0 + un) 2 Sn = (n+1) (u0 + un)

  formule définitive : S = nombre_de_termes × (premier_terme + dernier_terme) / 2
  on peut mémoriser que (premier_terme + dernier_terme) / 2
    est le terme moyen de la suite Arithmétique
   
  Illustration géométrique de la méthode : S₆ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6   avec n = 6 :

  1   6 2   5 3   4 4   3 5   2 6   1

  Surface du Rectangle :   hauteur = n   ici : n = 6   longueur = n + 1   surface S = n × (n+1)   ici : 6 × 7 = 42   Il est formé de 2 triangles. Surface de chaque triangle :   La moitié du rectangle : n × (n+1) / 2   ici : 42 / 2 = 21

   
• (rappel) Suite Géométrique : G(u₀, q)
  formulation par récurrence : u₀ et u_n+1 = q u_n
  formulation explicite : u_n = u₀ qⁿ
   
• Somme de suite Géométrique :
  S_n = u₀ + u₁ + . . . + u_n
  Astuce :
  On multiplie la suite G(u₀, q) par q qui nous donne G(u₁, q) :
    la même suite au premier et dernier termes près
  On soustrait terme à terme : il ne reste plus que u₀ et q u_n

  Sn = u0 + q u0 + . . . + qn u0 q Sn = q u0 + q² u0 + . . . + qn+1 u0 (1 − q) Sn = u0 − qn+1 u0 = u0 − q un Sn = (u0 − q un) / (1 − q)

  formule définitive : S = (premier_terme − q × dernier_terme) / (1 − q)
  remarque : avec dernier_terme = premier_terme q^nb_termes-1
    en effet : pour 1 seul terme :
    dernier_terme = premier_terme × 1 = premier_terme × q⁰
  mnémotechnie :
  numérateur = (1 u₀ − q u_n)
  dénominateur = (1 − q)
   
• Culture Math (difficile) : démonstration par récurrence de la relation :
    S_n = 1 + 2 + . . . + n = n (n+1) / 2
  1) Initialisation de la récurrence :
    On vérifie que la formule est bonne pour la première somme S₁ = 1 :
    nombre_de_termes = 1 ; premier_terme = dernier_terme = 1
    formule : S₁ = (1) × (1+1) / 2 = 1
    La formule de récurrence est vérifiée pour n = 1
  2) Hérédité de la formule :
    On suppose que la formule est bonne pour n,
      on en déduit qu'elle est bonne aussi pour (n+1)
    S_n = 1 + 2 + . . . + n = n (n+1) / 2
    S_n+1 = 1 + 2 + . . . + n + (n+1) = n (n+1) / 2 + (n+1)
    S_n+1 = (n+1) ( n/2 + 1 )
    S_n+1 = (n+1) ( n/2 + 2/2 )
    S_n+1 = (n+1) × (n+2) / 2 = nombre_de_termes × (nombre_de_termes + 1) / 2
    La formule de récurrence est héréditaire
  3) Conclusion : le raisonnement par récurrence
    permet d'affirmer que la formule est vraie ∀ n ≥ 1

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