Factorisation pour étude de signe : décomposer un polynôme en produit :
f(x) = a (x − r1) (x − r2) . . .
Utilisation des 3 identités remarquables :
(A + B)² = A² + 2 A B + B²
(A − B)² = A² − 2 A B + B² (la précédente en changeant B en −B)
(A + B) (A − B) = A² − B²
Exemple 1 : f(x) = x² + 6 x + 9 on a A = x et B = 3 d'où : f(x) = (x + 3)² > 0 sauf pour x = −3 avec f(−3) = 0
(−3 est alors une racine double) Exemple 2 : f(x) = 5 (x + 1)² − 3 Faire apparaître le membre de droite de l'identité remarquable :
f(x) = 5 [ (x + 1)² − 3/5 ]
on a A = (x + 1) et B = √3/5 f(x) = 5 [ (x + 1)² − (√3/5)² ]
f(x) = 5 [ (x + 1) + √3/5 ]
[ (x + 1) − √3/5 ]
f(x) = 5 [ x + 1 + √3/5 ]
[ x + 1 − √3/5 ]
f(x) s'annule pour : x ∈ { −1−√3/5 ;
−1+√3/5 }
= { r1 ; r2 }
Soit : f(x) = 5 (x − r1) (x − r2)
Plus généralement : f(x) = a x² + b x + c étude de la parabole : sommet (xS ; yS)
obtenu par f '(xS) = 2 a xS + b = 0
soit xS = −b/(2a) puis : yS = f(xS) = . . . = −Δ / (4a) avec Δ = b² − 4 a c f(x) peut se ré-écrire : f(x) = a [ x − (−b/(2a)) ]² + yS soit f(x) = a ( [ x − (−b/(2a)) ]² − [Δ / (4a²)] )
Si Δ < 0 : f(x) garde toujours le même signe : (somme de 2 carrés)
→ signe(f(x)) = signe(f(∞)) = signe(a)OU = signe(f(0)) = signe(c) Si Δ = 0 : f(x) garde toujours le même signe
sauf en x = xS où f(xS) = yS = 0
f(x) = a × (une des 2 premières identités remarquables)
Si Δ > 0 : yS est du signe contraire de a et la parabole coupe l'axe Ox aux 2 racines.
alors : Δ / (4a²) = [ √Δ / (2a) ]²
f(x) = a [ [ x − (−b/(2a)) ]² − [√Δ / (2a)]² ]
f(x) = a (x − r1) (x − r2)
avec { r1, r2 } =
{ (−b − √Δ) / (2a) ;
(−b + √Δ) / (2a) }
En dehors des 2 racines : → signe(f(x)) = signe(f(∞)) = signe(a) Entre les 2 racines : signe(f(x)) = − signe(a)
Pour un polynôme de degré 3 : tester une racine "évidente" r ∈ { 0, 1, 2, −1, −2 }
Si f(r) = 0, alors on peut mettre (x − r) en facteur
On effectue la division Euclidienne de f(x) par (x − r) et on obtient un polynome de degré 2
que l'on sait factoriser.
1) révisions : sujet de bac Math 1ère générale
mathematiques-non-spe-premiere-2026-zero-1-sujet-officiel.pdf automatismes, suites arithmétique et géométrique, tableau à double entrée, problème (linéaire)
résolution graphique, numérique, algébrique
BAC grand oral ? : recrutement chez Decathlon
1) recruter des collaborateurs ayant les valeurs de l'entreprise (sportifs)
2) sécurité au travail : Pascual cosmétiques
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