loi de Bernoulli : B(p)
on note succès = 1 et échec = 0
P(X=1) = p ; P(X=0) = 1 − p
Espérance d'un tirage de Bernoulli : E(X) = P(1)*1 + P(0)*0 = p*1 + (1−p)*0 = p
Variance d'un tirage de Bernoulli : V(X) = P(1)*(1−p)² + P(0)*(0−p)²
V(X) = p*(1+p²−2p) + (1−p)*p²
V(X) = p + p3 − 2p² + p² − p3 V(X) = p + − p² = p (1−p)
définition de l'écart-type : σ(X) = √V(X)
loi binomiale : B(n,p)
X = somme des X obtenus par n tirages de Bernoulli B(p) indépendants.
tirage avec remise : pour avoir toujours le même nombre de boules, donc la même probabilité.
indépendants : le résultat d'un tirage ne dépend des résultats des autres tirages.
triangle de Pascal :
parmi n tirages, nombre de chemins aboutissant à k succès : (k parmi n)
connaissant les valeurs pour (n-1) :
on ajoute 1 tirage en racine : 2 branches 0 et 1 suivies des arbres de n-1 tirages
Pour k succès :
nombre de chemins avec tirage racine = 0 : (k parmi n-1) soit : 0 + k succès
nombre de chemins avec tirage racine = 1 : (k-1 parmi n-1) soit : 1 + (k-1) succès
on obtient (k parmi n) = (k-1 parmi n-1) + (k parmi n-1)
calcul direct : (k parmi n) = n! / (k! (n-k)!)
problème 1 :
Soit l'expérience aléatoire : "On tire une carte dans un jeu de 32 cartes."
On considère le jeu suivant :
- Si on tire un cœur, on gagne 2 €.
- Si on tire un roi, on gagne 5 €.
- Si on tire une autre carte, on perd 1 €.
On appelle X la variable aléatoire qui à une carte tirée associe un gain ou une perte.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance de X et interpréter le résultat.
interprétation de l'énoncé : 8 coeurs, 4 rois, autres cartes 32-(8+4-1)
ATTENTION : P(coeur) et P(roi) ne sont pas indépendants car ils ont une carte commune
→ On admet que si on tire le roi de coeur, on gagne 2+5 = 7
(à dire car l'énoncé ne dit rien : risque dans le cas du roi de coeur : gain = max(roi, coeur) = 5)
4 cas possibles : coeur sauf roi : 7 ; roi de coeur : 1 ; autres rois : 3 ; autres cartes 21
P(X=2) = 7/32 ; P(X=7) = 1/32 ; P(X=5) = 3/32 ; P(X=-1) = 21/32
X
-1
2
5
7
P(X)
21/32
7/32
3/32
1/32
P(X)*X
-21/32
14/32
15/32
7/32
E(X) = ∑ P(X)*X = (-21 + 14 + 15 + 7 )/32 = 15/32
Nuance : schéma de Bernoulli : n tirages de Bernoulli B(p)
après, que fait-on des résultats ? si on les additionne : loi Binomiale B(np)
si on prend le max(des n résultats) : loi P(1) : 1 - (1-p)n ; P(0) = (1-p)n
problème 2 :
On tire trois fois de suite avec remise une carte dans un jeu de 4 cartes
qui contient une carte Némo. On considère comme succès l’événement
« Obtenir la carte Némo. »
𝑋 est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès.
Calculer P(X=2). Interpréter le résultat.
interprétation de l'énoncé : P(Némo) = 1/4 ; P(¬ Némo) = 3/4
dessiner un arbre : 23 = 8 chemins possibles
compter les chemins avec 2 Némos OU (2 parmi 3) = 3
1 tirage sans Némo qui peut n'importe lequel des 3.
P(X=2) = 3 * (1/4)² (3/4) = 9 / 64
interprétation : dans les 55/64 autres cas : on obtient 0, 1 ou 3 Némos
problème 2 :
On lance 7 fois de suite un dé à 6 faces.
Soit 𝑋 la variable aléatoire égale au nombre de fois
que le dé affiche un nombre supérieur ou égal à 3.
a) Quelle est la loi suivie par 𝑋 ?
b) Calculer la probabilité 𝑃(𝑋 = 5).
c) Calculer la probabilité 𝑃(𝑋 ≤ 5).
d) Calculer la probabilité 𝑃(𝑋 ≥ 3).
cas possibles 1, 2, 3, 4, 5, 6
cas favorables : ≥ 3 soit 3, 4, 5, 6
pour un tirage : p = 4/6 = 2/3
a) tirage de Bernoulli B(p), nombre de succès sur 7 tirages : loi binomiale B(7, 2/3)
→ Numworks : Probabilités → Loi binomiale (7, 2/3) → P(x≤n) OU Calculs → toolbox → Probabilités → Lois de probabilité → Binomiale → binompdf(,,)
b) 𝑃(𝑋 = 5) = (5 parmi 7) (2/3)**5 * (1/3)**2
𝑃(𝑋 = 5) = P(X ≤ 5) - P(X ≤ 4) = 0.7366255 - 0.4293553 = 0.3072702
𝑃(𝑋 = 5) = binompdf(5,7,2/3) = 0.307
c) 𝑃(𝑋 ≤ 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
OU 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 0.7366255
𝑃(𝑋 ≤ 5) = binomcdf(5,7,2/3) = 0.737
d) 𝑃(𝑋 ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
OU 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))
P(X ≤ 2) = 0.04526749 ⇒ 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.95473251
problème 4 :
Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes.
Une expérience consiste à tirer au hasard 4 fois de suite une boule et de la remettre.
On appelle 𝑋 la variable aléatoire qui associe le nombre de tirages gagnants.
a) Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale.
b) Calculer la probabilité d'obtenir 3 boules gagnantes.
interprétation de l'énoncé : nombre de tirages possibles : 5+7=12
nombre de tirages à succès possibles : 5 nombre de tirages à échec possibles : 7
a) chaque tirage suit une loi de Bernoulli de probabilité B(p) : p = 5/(5+7) = 5/12
car on remet la boule tirée : les nombres de boules ne changent pas
4 tirages dont on fait la somme des succès : c'est une loi Binomiale B(n=4, p=5/12)
b) pour obtenir 3 boules gagnantes, il faut une seule boule perdante.
cela peut être n'importe laquelle des 4 boules : (3 parmi 4) = 4
P(3) = (3 parmi 4) p3 (1-p)4-3 ligne de calcul : 4 * (5/12)**3 * (7/12)