Courbes d'offre et de demande   [répertoire]
  Sujet : Bac ES math 2006 antilles ex.4

• Calculatrice : Evaluer
   
• 1.a) Identification des courbes

  Unités des axes ? axe Ox : ]0..6] ; axe Oy : ]0..100]
  l'axe Ox représente le prix de la console
  l'axe Oy représente les quantités :
  l'offre des fournisseurs f(x) et la demande des consommateurs g(x)
  D'un point de vue économique, l'offre croît avec le prix :
    plus le prix est élevé, plus les producteurs produisent.
  tandis que la demande décroît avec le prix :
    plus le prix est élevé, moins les consommateurs achètent.
  f(x) est une exponentielle de 0,5 x + 2 > 0 pour x > 0 : elle est croissante (offre)
  g(x) est un logarithme (↗) de 20/x (↘) :
    quand x ↗, 20/x ↘ et ln(20/x) garde l'ordre donc g(x) ↘
  20/x ↘ : a < b   ⇒   20/a > 20/b
  ln( ) ↗ : 20/a > 20/b   ⇒   ln(20/a) > ln(20/b)

• 1.b) Interprétation du point A :

  Le point d'intersection des deux courbes correspond au prix d'équilibre et à la quantité d'équilibre.
  À la lecture du graphique, on obtient approximativement : A(2,7 ; 20).

• 2.a) Dérivée de h :

  Comme h(x) = f(x) − g(x) : h'(x) = f '(x) − g'(x) :
  f(x) = 0,7 e^{0,5 x + 2} = 0,7 e^u
  avec u = 0,5 x + 2 et u' = 0,5
  dérivée d'une exponentielle à base e : f '(x) = 0,7 u' e^u
  f '(x) = 0,7 × 0,5 e^{0,5 x + 2} = 0,35 e^{0,5 x + 2}
  g(x) = 10 ln(20/x) = 10 ln(u)
  avec u = 20/x et u' = -20/x²
  dérivée d'un logarithme néperien : g'(x) = 10 u'/u
  g'(x) = 10 (-20/x²) / (20/x) = 10 (-1/x²) · x/1 = -10 / x
  h'(x) = 0,35 e^{0,5 x + 2} + 10 / x

• 2.b) Signe de h' et variation :

  Sur ]0;6], on a x > 0, donc 10/x > 0 , et l'exponentielle est toujours > 0
  Ainsi h'(x) > 0 sur tout l'intervalle.
  La fonction h est donc strictement croissante.

• 2.c) Existence et unicité de la solution :

  h(0) : limite quand x → 0 de h(x) : f(0) = 0,5 e²
  20/x → ∞ donc ln(x) → ∞
  limite de h(x) → 0,5 e² − ∞ → −∞
  h(6) = 0,7 * exp(0,5*6+2) - 10 * log(20/6) ≈ 92 > 0
  la courbe h(x) est continue et croît de moins l'infini à une valeur positive,
  donc elle coupe nécessairement une fois et une seule l'axe Ox.

• 2.d) Prix et quantité d'équilibre

  Comme x est exprimé en centaines d'euros,
  le prix d'équilibre vaut 2,7 × 100 ≈ 270 €
  La quantité d'équilibre vaut f(2,7) ≈ 19,952 milliers de consoles, soit environ 20 000 consoles.

• 3.a) Primitive de f

  Une primitive de f sur ]0;6] :
  f(x) = 0,7 e^u = 0,7 e^u u'/0,5 = 1,4 (e^u)'
  donc F(x) = 1,4 e^u = 1,4 e^{0,5 x + 2}

• 3.b) Calcul du surplus des fournisseurs
  surplus des fournisseurs de 0 à x_A :
  surface entre l'horizontale passant par le point d'équilibre et la surface sous la courbe de l'offre f(x) jusqu'à A.
  S = 2,7 × 20 − (F(2,7) − F(0))
  S = 54 − 1,4 e^{(0,5 × 2,7 + 2)} + 1,4 e²
  S = 54 − 39,904 + 10,345 = 24,441 × 100 € × 1000 consoles   (?)
   
  Loi de l'offre et de la demande : équilibre cout de production ↔ capacité d'achat
  sur le marché des consoles :
  Un vendeur propose des consoles à 200 € : situation de pénurie
  1) à ce prix, il trouve des producteurs pour en fabriquer 14 060
  2) à ce prix, il y a 23 030 acheteurs potentiels
  remarque : pour cette quantité limitée, 14 060 clients seraient prêts à payer 490 €
  → Pour le vendeur, il y a un manque à gagner de 290 € par console vendue.
  Un vendeur propose des consoles à 300 € : situation de surplus
  1) Il peut s'en procurer 23 180
  2) Il ne trouve que 18 970 clients, il lui reste 4 210 consoles invendues.
  remarque : il est obligé de les solder à 197 € pour liquider son stock.
  → il a vendu les premières 18 970 consoles 103 € de plus.