données : nombre de morts par an
corrélation entre l'année et le nombre de morts :
Année
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Rang (xi)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Morts (yi)
8437
8029
7643
7720
7242
5731
5593
5318
4703
1) Représentation graphique : pour une bonne précision,
repérer les 2 lignes encadrant le point, puis les points entre ces 2 lignes (en général 5 intervalles)
exemple yinf = 1500 ; ysup = 1750 ; 250 pour 5 intervalles = 50 / intervalle
Point moyen du nuage de points (xi, yi)
x = xG = (1/n) ∑ xi y = yG = (1/n) ∑ yi x = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) / 9 = 5
y = (8437 + 8029 + 7643 + 7720 + 7242 + 5731 + 5593 + 5318 + 4703) / 9
= 6712,9
2) Ajustement affine = droite de régression des moindres carrés en y : d'équation y = f(x) = a x + b
on minimise la distance verticale :
dist(a,b) = ∑ (yi − f(xi))² = ∑ (yi − a xi − b)²
En annulant les dérivées par rapport aux variables a et b.
a = [ ∑ (xi − x) ·
(yi − y) ]
/ [ ∑ (xi − x)2 ]
= cov(x,y) / var(x)
puis : b = y − a x Avec la calculatrice : choisir "régression affine a x + b"
donne l'équation : y = -485,97 x + 9142,72
3) extrapolation à l'année 2010 :
(année, rang) = (2006, 9) donc (2010=2006+4, 9+4=13)
à lire sur l'annexe 1 : tracer la verticale partant de 13,
puis l'horizontale partant de son intersection avec la droite de régression jusqu'à l'axe Oy
vérification : morts(2010) = -485.97 * 13 + 9142.72 = 2825
4) morts réels (2010) = morts(2000) * (1-0.48) = 7643 * 0.52 = 3974 commentaire (non demandé) : morts réels (2010) ≫ morts extrapolés (2010)
le modèle d'interpolation linéaire cesse d'être valable en dehors de sa plage de définition.
un modèle linéaire ne peut pas être extrapolé trop loin car le nombre de morts deviendrait négatif.
il y aura nécessairement un ralentissement de la baisse quand on approche de zéro.
ici, le ralentissement est bien avant zéro.