Applications Linéaires

• définition un application est linéaire si :
  • u, v ∈ un espace vectoriel et λ ∈ corps associé (en général ℜ)
  • f(u+v) = f(u) + f(v)
  • f(λ u) = λ f(u)
• Il suffit de connaître les transformées des vecteurs de base
      pour connaître la transformée de n'importe quel vecteur de l'espace vectoriel.
• les exemples suivants sont dans l'espace à 3 dimensions.
• f(x i + y j + z k) = x f(i) + y f(j) + z f(k)
  • V = x i + y j + z k = ( x, y, z ) dans la base ( i, j, k )
  • Dans le cas où ( f(i), f(j), f(k) ) forment une base (une famille libre)
        f(V) = ( x, y, z ) dans la base ( f(i), f(j), f(k) )
• les exemples suivants sont dans le plan à 2 dimensions.
• Exemple de la projection : f(x i + y j) = x i
  • f(i) = i
  • f(j) = 0
  • V = ( x, y ) → f → f(V) = ( x, 0 )
  • la transformée de la base est une famille liée : ( i, j ) → f → ( f(i), f(j) ) = ( i, 0 )
  • On appelle Noyau de f, que l'on note Ker(f) (en allemand Kern=noyau) l'ensemble des vecteurs dont l'image est 0
  • Ker(f) = { λ j : ∀ λ ∈ ℜ } puisque f(j) = 0 et donc f(λ j) = λ f(j) = 0
    C'est un sous-espace vectoriel de dimension 1 et de base ( j ).
  • Cette application f a perdu une dimension, il n'y a donc pas d'application réciproque f⁻¹
• représentation d'un vecteur V sous forme de matrice colonne X dans la base (e₁, e₂) :
  • V = x e₁ + y e₂

  	V
  X =	x	e1
  	y	e2

• représentation d'une application linéaire f sous forme de matrice A dans la base (e₁, e₂) :
  • f ( e₁ ) = a e₁ + b e₂
  • f ( e₂ ) = c e₁ + d e₂
  devient : A(f) dans la base (e₁, e₂).

  	f ( e1 )	f ( e2 )
  A =	a	c	e1
  	b	d	e2

• application réciproque sous forme de matrice A⁻¹ dans la base (f(e₁), f(e₂)) :
  • avec Δ = a d − b c
  • à condition que (f(e₁), f(e₂)) soit une base : Δ ≠ 0
  • e₁ = (d/Δ) f(e₁) − (b/Δ) f(e₂)
  • e₂ = −(c/Δ) f(e₁) + (a/Δ) f(e₂)
  devient : A⁻¹(f⁻¹) dans la base ( f(e₁), f(e₂) ).

  	f−1(f(e1)) = e1	f−1(f(e2)) = e2
  A−1 =	d/Δ	−c/Δ	f(e1)
  	−b/Δ	a/Δ	f(e2)