Contrôle du 8 février 2011 question 1.1 ( Exercice 1 question 1 )

• Question :
  • f(t) = t ln(t) − t   si t ≠ 0
    f(t) = 0   si t = 0
  • Montrer que f est continue sur [ 0 , +∞ [
• Réponse :
  • pour t ≠ 0 : f(t) est composée de fonctions simples continues sur ] 0 , +∞ [
    Il n'y a pas d'opération sur ces fonctions simples qui pourrait introduire des valeurs interdites.
    f(t) est donc continue sur ] 0 , +∞ [
  • pour t = 0 : f(t) est continue en t = 0 si limite quand t → 0 de f(t) = f(0)
    • On sait que limite quand t → 0 de t ln(t) = 0
    • On peut le retrouver en faisant le changement de variable t = 1 / u :
      limite quand t → 0 de t ln(t) = limite quand u → +∞ de (1/u) ln(1/u) = limite quand u → +∞ de − ln(u) / u
      Or on sait que ln(u) croît moins vite que u au voisinage de l'infini
      Donc limite quand u → +∞ de − ln(u) / u = 0
      Ou limite quand t → 0 de t ln(t) = 0
    • Donc limite quand t → 0 de f(t) = t ln(t) − t = 0 − 0 = 0
    • La fonction f est continue en 0
  • Donc, la fonction f est continue sur [ 0 , +∞ [

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