Cours prépa. HEC Contrôle du 8 février 2011 question 4.01

Contrôle du 8 février 2011 question 4.1 ( Exercice 4 questions 1 à 3 )

2 personnes P₁ et P₂ se déplacent sur les sommets d'un pentagone.
- A chaque tirage, elles vont de manière aléatoire sur un des 2 sommets voisins avec une proba. 1/2
- A_n : P₁ et P₂ sont sur le même sommet
- B_n : P₁ et P₂ sont sur des sommets adjacents (voisins)
- C_n : P₁ et P₂ sont sur des sommets séparés par 2 côtés.

question 1) Justifier que A_n, B_n, C_n forment un système complet d'évènements

définition 1 :
- ( A_n, B_n, C_n ) est une partition de Ω
définition 2 :
- A_n ≠ ensemble vide ...
- A_n inter B_n = ensemble vide (incompatibles) ...
- A_n union B_n union C_n = Ω

Faire des dessins au brouillon pour bien visualiser le problème

évènements élémentaires de l'ensemble Ω :

On met P₁ en S₁ pendant que P₂ mis aux 5 positions possibles S_i
P₁ aux autres positions donne le même tableau permuté.

P₂ à la position S_i =	S₁	S₂	S₃	S₄	S₅
nombre de trajets de séparation	0	1	2	2	1
évènement	A_n	B_n	C_n	C_n	B_n

Rigoureusement, on devrait faire un tableau des trajets à double entrée
avec les 5 possibilités pour P₁ en colonne et les 5 possibilités pour P₂ en ligne

Conclusion : A_n, B_n, C_n forment un système complet d'évènements
- Chacun des 3 évènements a au moins un élément de l'ensemble Ω ( non vide )
- Les évènements sont deux à deux incompatibles
- A_n union B_n union C_n = Ω : Il n'y a pas d'autre évènement possible

question 2 : initialement P₁ et P₂ sont en S₁ et S₂
on note a_n = P(A_n) ...
La loi de répartition initiale du système : pour n = 0 est B₀
=> P(A₀) = 0 ; P(B₀) = 1 ; P(C₀) = 0
Soit : a₀ = 0 ; b₀ = 1 ; c₀ = 0 ;
remarque : on aurait pu dire que les personnes arrivaient sur un des 5 sommets au hasard,
avec une probabilité uniforme
on aurait eu une répartition initiale de : P(A₀) = 1/5 ; P(B₀) = 2/5 ; P(C₀) = 2/5

question 3 :

Sachant C_n calculer P_{C_n}(A_n+1)

Etat initial : C_n = [ P₁ et P₂ sont séparés par 2 trajets ]

Déplacements possibles ( on appellera S₁ la position de P₁ )

Déplacements	S₁	S₂	S₃	S₄	S₅	Etat	Proba.
Init.	P₁		P₂			C_n
P₁⁺ et P₂⁺		P₁		P₂		C_n+1	1/4
P₁⁺ et P₂⁻		P₁ P₂				A_n+1	1/4
P₁⁻ et P₂⁺				P₂	P₁	B_n+1	1/4
P₁⁻ et P₂⁻		P₂			P₁	C_n+1	1/4

P_{C_n}(A_n+1) = ( 1 cas sur 4 ) = 1/4
P_{C_n}(B_n+1) = ( 1 cas sur 4 ) = 1/4
P_{C_n}(C_n+1) = ( 2 cas sur 4 ) = 1/2

Justifier : Sachant A_n calculer P_{A_n}(A_n+1) = 1
d'après l'énoncé : quand ils se retrouvent (A_n) ils ne se quittent plus donc (A_n+1)
donc : P_{A_n}(B_n+1) = 0 et : P_{A_n}(C_n+1) = 0

Il nous reste : Sachant B_n

Etat initial : B_n = [ P₁ et P₂ sont séparés par 1 trajet ]

Déplacements possibles ( on appellera S₁ la position de P₁ )

Déplacements	S₁	S₂	S₃	S₄	S₅	Etat	Proba.
Init.	P₁	P₂				B_n
P₁⁺ et P₂⁺		P₁	P₂			B_n+1	1/4
P₁⁺ et P₂⁻	P₂	P₁				B_n+1	1/4
P₁⁻ et P₂⁺			P₂		P₁	C_n+1	1/4
P₁⁻ et P₂⁻	P₂				P₁	B_n+1	1/4

P_{B_n}(A_n+1) = ( 0 cas sur 4 ) = 0
P_{B_n}(B_n+1) = ( 3 cas sur 4 ) = 3/4
P_{B_n}(C_n+1) = ( 1 cas sur 4 ) = 1/4

question 4 :
- Formule des probabilités totales : P(A_n+1) = P(A_n) × P_{A_n}(A_n+1) + P(B_n) × P_{B_n}(A_n+1) + P(C_n) × P_{C_n}(A_n+1)
  - P(A_n+1) = a_n × 1 + b_n × 0 + c_n × (1/4)
  - a_n+1 = a_n + (1/4) c_n
- P(B_n+1) = P(A_n) × P_{A_n}(B_n+1) + P(B_n) × P_{B_n}(B_n+1) + P(C_n) × P_{C_n}(B_n+1)
  - P(B_n+1) = a_n × 0 + b_n × (3/4) + c_n × (1/4)
  - b_n+1 = (3/4) b_n + (1/4) c_n
- P(C_n+1) = P(A_n) × P_{A_n}(C_n+1) + P(B_n) × P_{B_n}(C_n+1) + P(C_n) × P_{C_n}(C_n+1)
  - P(C_n+1) = a_n × 0 + b_n × (1/4) + c_n × (1/2)
  - c_n+1 = (1/4) b_n + (1/2) c_n
question 5 :
- question 5.a) appliquons la formule de b_n+2 à b_n+2
  - b_n+2 = (3/4) b_n+1 + (1/4) c_n+1
  - on remplace c_n+1
  - b_n+2 = (3/4) b_n+1 + (1/4) ( (1/4) b_n + (1/2) c_n )
  - b_n+2 = (3/4) b_n+1 + (1/16) b_n + (1/8) c_n
  - Mais on peut exprimer c_n en fonction de b_n et b_n+1
  - c_n = 4 b_n+1 − 3 b_n
  - b_n+2 = (3/4) b_n+1 + (1/16) b_n + (1/8) ( 4 b_n+1 − 3 b_n )
  - b_n+2 = (3/4) b_n+1 + (1/16) b_n + (1/2) b_n+1 − 3/8 b_n
  - b_n+2 = (5/4) b_n+1 − (5/16) b_n
- question 5.b) (b_n) est une suite linéaire d'ordre 2
  - solution générale de la forme : b_n = a r₁ⁿ + b r₂ⁿ
  - polynôme caractéristique : r² − (5/4) r + (5/16) = 0
  - Δ = (5/4)² − 4 (5/16) = (25 − 20) / 16 = 5 / 16
  - racines : r = ( 5/4 ±√5/4 ) / 2
  - r₁ = ( 5 + √5 ) / 8 = β
  - r₂ = ( 5 − √5 ) / 8 = α
  - b_n = a αⁿ + b βⁿ
  - les coefficients a et b sont déterminés par les 2 premiers termes : b₀ et b₁
  - b₀ = 1 = a + b
  - b₁ = 3/4 = a α + b β
  - b = 1 − a => 3/4 = a α + (1 − a) β
  - 3/4 − β = a ( α − β )
  - 6/8 − ( 5 + √5 ) / 8 = a ( 5 − √5 − 5 − √5 ) / 8
  - 1 − √5 = − 2 a √5
  - √5 − 5 = − 10 a
  - a = ( 5 − √5 ) / 10 = 8 α / 10 = (4/5) α
  - b = 1 − ( 5 − √5 ) / 10
  - b = ( 10 − 5 + √5 ) / 10
  - b = ( 5 + √5 ) / 10 = 8 β / 10 = (4/5) β
  - Vérification : 1 = a + b : OK
  - Vérification : 3/4 = a α + b β : OK
  - b_n = a αⁿ + b βⁿ
  - b_n = (4/5) ( αⁿ⁺¹ + βⁿ⁺¹ )
- question 5.c) c_n = 4 b_n+1 − 3 b_n
  - c_n = (4/5) [ 4 ( αⁿ⁺² + βⁿ⁺² ) − 3 ( αⁿ⁺¹ + βⁿ⁺¹ ) ]
  - c_n = (4/5) [ ( 4 α − 3 ) αⁿ⁺¹ + ( 4 β − 3 ) βⁿ⁺¹ ) ]
  - calcul des coefficients devant αⁿ⁺¹ et βⁿ⁺¹
    - 4 α − 3 = ( 5 − √5 ) / 2 − 6 / 2
      4 α − 3 = ( − 1 − √5 ) / 2
    - 4 β − 3 = ( 5 + √5 ) / 2 − 6 / 2
      4 β − 3 = ( − 1 + √5 ) / 2
  - c_n = (2/5) [ ( − 1 − √5 ) αⁿ⁺¹ + ( − 1 + √5 ) βⁿ⁺¹ ) ]
  - calcul des coefficients devant αⁿ et βⁿ
    - ( − 1 − √5 ) α = ( − 1 − √5 ) ( 5 − √5 ) / 8 = − 4 √5 / 8 = − √5 / 2
    - ( − 1 + √5 ) β = ( − 1 + √5 ) ( 5 + √5 ) / 8 = 4 √5 / 8 = √5 / 2
  - c_n = (2/5) [ ( − √5 / 2 ) αⁿ + ( √5 / 2) βⁿ ]
  - c_n = (1/5) [ − √5 αⁿ + √5 βⁿ ]
  - c_n = (√5/5) [ βⁿ − αⁿ ]
question 6)
- question 6.a) a_n = 1 − b_n − c_n
  - a_n = 1 − (4/5) ( αⁿ⁺¹ + βⁿ⁺¹ ) − (√5/5) [ βⁿ − αⁿ ]
  - a_n = 1 − (4/5) [ ( 5 − √5 ) / 8 αⁿ + ( 5 + √5 ) / 8 βⁿ ] − (√5/5) [ βⁿ − αⁿ ]
  - a_n = 1 − [ ( 1 − √5/5 ) / 2 αⁿ + ( 1 + √5/5 ) / 2 βⁿ ] − (√5/5) [ βⁿ − αⁿ ]
  - a_n = (1/2) [ 2 + ( − 1 + √5/5 ) αⁿ + ( − 1 − √5/5 ) βⁿ ] + (√5/5) [ − 2 βⁿ + 2 αⁿ ]
  - a_n = (1/2) [ 2 + ( − 1 + 3 √5/5 ) αⁿ + ( − 1 − 3 √5/5 ) βⁿ ]
- question 6.b) limite de a_n quand n → ∞
  - majoration de √5 : 5 < 9 donc : √5 < 3
  - α = ( 5 − √5 ) / 8 < 5 / 8 < 1
    0 < α < 1
  - β = ( 5 + √5 ) / 8 < ( 5 + 3 ) / 8 = 1
    0 < β < 1
  - Quand n → ∞ : les termes αⁿ et βⁿ → 0
  - Il reste : limite de a_n quand n → ∞ = 1
- question 6.c) la probabilité que 2 personnes ne se retrouvent jamais est nulle.
  car : b_∞ + c_∞ = 1 − a_∞ = 0

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