Cours du Dimanche 12 Septembre 2010

• calcul sans faute !
  • 2(m+3)x = (2m+6)x = 2mx + 6x ou bien 2(m+3)x = (m+3)2x = 2mx + 6x
  • 2 × 3 × 4 = ( 2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 ( simple produit )
    ou : 2 × 3 × 4 = 3 × 2 × 4 = 3 × 8 = 24
  • à ne pas confondre avec :
    2 ( 3 + 4 ) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14 ( distributivité )
• simplification de fractions :

  a + b a

  on ne peut pas simplifier par a

  b a + b c b

  =

  b ( a + c ) b

  =

  a + c

  remarque : on divise tout le numérateur et tout le dénominateur : tous leurs termes.
• Résolution des équations : A = B
  si l'on divise par ( m + 1 ) : 2 cas
  • ( m + 1 ) = 0 <=> m = −1 : interdit
  • ( m + 1 ) ≠ 0 <=> m ≠ −1 : on peut diviser ( A ) / ( m + 1 ) = ( B ) / ( m + 1 )
  • remarque : on divise tout le membre A et tout le membre B : tous leurs termes.
• Résolution des inéquations : A < B
  si l'on divise (ou multiplie) par ( m + 1 ) : 3 cas
  • ( m + 1 ) > 0 <=> m > −1 : on peut diviser en gardant le sens de l'inéquation
    alors : ( A ) / ( m + 1 ) < ( B ) / ( m + 1 )
  • ( m + 1 ) = 0 <=> m = −1 : interdit pour la division, sans intérêt pour la multiplication
  • ( m + 1 ) < 0 <=> m < −1 : on peut diviser en changeant le sens de l'inéquation
    alors : ( A ) / ( m + 1 ) > ( B ) / ( m + 1 )
• mémorisation de :
  (polynôme homogène en a,b : la somme des puissances de a et b dans chaque terme est constante)

  an − bn =	(a − b) ×	(an−1 + an−2b + an−3b2 + ... a2bn−3 + abn−2 + bn−1)
  degré n =	(degré 1)	(degré n−1)

  an − bn = (a − b)	k=n−1	an−1−kbk
  	∑
  	k=0

  Exemple n=4 : a⁴ − b⁴ = (a − b) (a³ + a²b + ab² + b³)
• sommes des puissances d'entiers :
  • S₀ = ∑₁ⁿ 1 = n
  • S₁ = ∑₁ⁿ k = n (n+1) / 2
  • S₂ = ∑₁ⁿ k² = n (n+1) (2n+1) / 6
  • S₃ = ∑₁ⁿ k³ = [ n (n+1) / 2 ]² = [ S₁ ]²
• triangularisation de Gauss : exemple d'un système de 3 équations à 3 inconnues :
  • x + y + z = 6     (Eq.1)
  • 2x + 3y + 4z = 20     (Eq.2)
  • 2y + z = 7     (Eq.3)
  On élimine x entre (Eq.1) et (Eq.2) pour obtenir l'équation (Eq.2bis) : réponse
  Puis on élimine y entre (Eq.2bis) et (Eq.3) pour obtenir l'équation (Eq.3bis) réponse
  le système des 3 équations : (Eq.1) (Eq.2bis) (Eq.3bis) est triangulaire.
  de (Eq.3bis) on obtient z : réponse
  on remplace z dans (Eq.2bis) pour obtenir y : réponse
  on remplace z et y dans (Eq.1) pour obtenir x : réponse