Cours du Samedi 18 Septembre 2010

• changement de d'indice dans une somme : (de la forme j = k + a avec a ∈ Z )
  • exemple avec j = k + a ( donc k = j − a )
  • on effectue la sommation sur j ( k = p devient j = k + a = p + a )
  • dans les termes, on remplace k par (j − a) : f(k) devient f(j − a)

    k=q	f(k)	devient :	j=q+a	f(j−a)
    ∑			∑
    k=p			j=p+a

  • exemple avec aⁿ − bⁿ où on remplace k par (j − 1) :

    an − bn = (a − b)	k=n−1	an−1−kbk	devient : (a − b)	j=n	an−jbj−1
    	∑			∑
    	k=0			j=1

• Calcul de S₂ = ∑_k=1^k=n ( k² )
  résoudre (n+1)³ = 1³ + 3 S₂ + 3 S₁ + S₀
  avec S₀ = n et S₁ = n(n+1)/2
  • 3 S₂ = (n+1)³ − 1 − 3n(n+1)/2 − n
  • on factorise (n+1) : 3 S₂ = (n+1) [ (n+1)² − 1 − 3n/2 ]
  • on développe le cochet [ ] : 3 S₂ = (n+1) [ n² + 2 n + 1 − 1 − 3n/2 ]
  • on factorise n : 3 S₂ = n(n+1) [ n + 2 −3/2 ]
  • 3 S₂ = n(n+1) [ n + 1/2 ]
  S₂ = n(n+1)(2n + 1)/6
• Arrangements et Combinaisons (cela correspond à un cours complet de TS) :
  • nombre de manière de prendre p objets dans un ensemble de n objets
  • l'ordre est pris en compte (a, b) ≠ (b, a) : comptent pour 2 permutations différentes
  • exemple A(₅³) :
    • pour le premier objet, il y a un choix parmi 5 objets : 5 possibilités
    • pour le second objet, il y a un choix parmi les 4 objets restants : 4 possibilités
    • pour le troisième objet, il y a un choix parmi les 3 objets restants : 3 possibilités
    • nombre de cas possibles : A(₅³) = 5×4×3 = 60 ( = 5! / 2! car : 5×4×3×2×1 / 2×1 = 5×4×3 )
    • où les triplets (a, b, c) ≠ (b, a, c) ... sont comptés pour 2
  • nombre de permutations pour les 3 objets de l'ensemble { a, b, c }
    • A(₃³) = 3×2×1 = 3!
  • nombre d'ensembles de 3 objets possibles sans tenir compte de l'ordre des objets :
    • C(₅³) = A(₅³) / A(₃³) = ( 5! / 2! ) / 3! = 5! / ( 2! 3! )
  • nombre de cas possibles sans tenir compte de l'ordre des tirages : C(_n^p)
    • A(_n^p) = n! / (n−p)!
    • A(_p^p) = p!
    • C(_n^p) = A(_n^p) / A(_p^p) = n! / [ p! (n−p)! ]
• Triangle de Pascal : il exploite la relation de récurrence C(_n^p) = C(_n−1^p−1) + C(_n−1^p)
  • Cette relation peut se démontrer par récurrence, mais voici une méthode directe :
    on retire 1 objet de l'ensemble des n objets, on le met de côté
    • on tire p objets de l'ensemble des (n−1) objets restants :
      C(_n−1^p) cas possibles dans lesquels il n'y a pas l'objet manquant
    • on tire (p−1) objets de l'ensemble des (n−1) objets restants auxquels on ajoute l'objet retiré pour faire p :
      C(_n−1^p−1) cas possibles dans lesquels il y a l'objet manquant
    • ce qui nous donne tous les cas possibles de p objets pris dans un ensemble de n : C(_n^p)
• Suites convergentes : u_n+1 = f( u_n )
  Quand on sait qu'une suite converge, sa limite L vérifie : L = f( L )
  exemple : u_n+1 = ( u_n + a / u_n ) / 2
  • (elle converge) sa limite vérifie : L = ( L + a / L ) / 2
  • 2 L² = L² + a
  • L² = a
  • L = √a
  • c'est une formule utilisée dans les ordinateurs pour calculer les racines carrées.