Cours du 16 Octobre 2010

• erreurs occasionnelles récurrentes :
  a ( b c ) = a b c = c a b = c b a ...   exemple 1 : 2 ( 2 x ) = 4 x   exemple 2 : x ( 2 x ) = 2 x²
  a ( b + c ) = a b + a c   exemple : n ( n + 1 ) = n² + n
• relations puissances :
  • q⁰ = 1
  • q⁻¹ = 1 / q
  • q^1/2 = √q
  • q^{a + b} = q^a × q^b
  • ( q^a)^b = q^{a × b}
    • application 1 : 16³ = 2^indication = 2 ^réponse
    • application 2 : 9^n/2 = indication = réponse
• relations log :
  • ln ( a b ) = ln ( a ) + ln ( b )
  • ln ( a / b ) = ln ( a ) − ln ( b )
  • a ln ( b ) = ln ( b^a )
    • ln ( √q ) = indication = réponse
  • a ln ( b ) + ln ( c ) = ln ( b^ac )
• exercice : limite ( A ) quand x → +∞   ( facile, mais beaucoup de calcul )
  avec A = [ (x + 1) / (2 x − 3 ) − ( x − 2) / ( 2 x + 4 ) ] / [ (5 x + 2) / (10 x − 1) − ( 2 x − 1) / (4 x + 3 ) ]
  • forme indéterminée : [ ∞ / ∞ − ∞ / ∞ ] / [ ∞ / ∞ − ∞ / ∞ ]
  • somme de fractions : réduction au même dénominateur
  • on traite séparément le numérateur et le dénominateur : A = P / Q
  • P = (x + 1) / (2 x − 3 ) − ( x − 2) / ( 2 x + 4 )
    • P = [ (x + 1) × ( 2 x + 4 ) − ( x − 2) × (2 x − 3 ) ] / [ (2 x − 3 ) × ( 2 x + 4 ) ]
    • P = [ 2 x² + 2 x + 4 x + 4 − ( 2 x² − 3 x − 4 x + 6 ) ] / [ (2 x − 3 ) × ( 2 x + 4 ) ]
    • P = [ 6 x + 4 − ( − 7 x + 6 ) ] / [ (2 x − 3 ) × ( 2 x + 4 ) ]
    • P = [ 6 x + 4 + 7 x − 6 ] / [ (2 x − 3 ) × ( 2 x + 4 ) ]
    • P = [ 13 x − 2 ] / [ (2 x − 3 ) × ( 2 x + 4 ) ] → 0
    • vérification pour x = 0 : P = −1/3 + 2/4 = −1/3 + 1/2 = 1/6 OK
    • vérification pour x = 1 : P = −2 + 1/6 = −11/6 OK
  • Q = (5 x + 2) / (10 x − 1) − ( 2 x − 1) / (4 x + 3 )
    • Q = [ (5 x + 2) × (4 x + 3 ) − ( 2 x − 1) × (10 x − 1) ] / [ (10 x − 1) × (4 x + 3 ) ]
    • Q = [ 20 x² + 8 x + 15 x + 6 − ( 20 x² − 10 x − 2 x + 1 ) ] / [ (10 x − 1) × (4 x + 3 ) ]
    • Q = [ 8 x + 15 x + 6 + 10 x + 2 x − 1 ) ] / [ (10 x − 1) × (4 x + 3 ) ]
    • Q = [ 8 x + 15 x + 6 + 10 x + 2 x − 1 ) ] / [ (10 x − 1) × (4 x + 3 ) ]
    • Q = [ 23 x + 6 + 12 x − 1 ) ] / [ (10 x − 1) × (4 x + 3 ) ]
    • Q = [ 35 x + 5 ] / [ (10 x − 1) × (4 x + 3 ) ] → 0
    • vérification pour x = 0 : Q = −2 + 1/3 = −5/3 OK
    • vérification pour x = 1 : Q = 7/9 − 1/7 = 40/63 OK
  • désormais, A est une forme indéterminée : 0 / 0
  • regroupement A = P / Q :
    A = [ (13 x − 2) × (10 x − 1) × (4 x + 3) ] / [ (2 x − 3) × (2 x + 4) × (35 x + 5) ]
    • A = [ x³ (13 − 2/x) × (10 − 1/x) × (4 + 3/x) ] / [ x³ (2 − 3/x) × (2 + 4/x) × (35 + 5/x) ]
    • A = [(13 − 2/x) × (10 − 1/x) × (4 + 3/x) ] / [ (2 − 3/x) × (2 + 4/x) × (35 + 5/x) ]
    • A → [ 13 × 10 × 4 ] / [ 2 × 2 × 35 ]
    • A → 130 / 35 = 26 / 7
• limite quand x → 1 de C = [ racine(24 + x) − 5 ] / [ racine(8 + x) − 3 ]   ( classique et facile )
  • limite de C = 0 / 0 : forme indéterminée
    formes indéterminée : ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞ / ∞ ; 0 / 0
  • produit par les quantités conjuguées
  • simplification par (x − 1) qui provoquait l'indétermination
  • C → 3 / 5
• suite géométrique : u₂ ≠ 0 ; 243 u₇ = 32 u₂   ( classique )
  • forme récursive : u_n+1 = q u_n
  • forme explicite : u_n = u₀ × qⁿ
  • raison q : remplacer u₇ et u₂ par leur forme explicite
    remarque : 2⁵ = 32 et 3⁵ = 243 => q = 2 / 3
  • S_n(u₀) = ∑₀ⁿ u_k
    comme la somme commence bien à 0 : on peut appliquer la formule
    S_n(u₀) = u₀ (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)   avec q = 2/3
  • limite quand n → ∞ : comme q < 1 : q^∞ = 0
    remarque si q > 1 : q^∞ = +∞
  • S_∞ = u₀ / ( 1 − 2/3 )
  • S_∞ = 3 u₀ = 3¹¹ => u₀ = 3¹⁰
  • P_n = ∏ u_k = u₀ × u₁ × u₂ × ... u_n
  • P_n = ∏ u_k = u₀ × u₀ q¹ × u₀ q² × ... u₀ qⁿ
  • P_n = ∏ u_k = u₀ⁿ⁺¹ × q¹ × q² × ... qⁿ
  • P_n = ∏ u_k = u₀ⁿ⁺¹ × q^1+2+...+n
  • P_n = ∏ u_k = u₀ⁿ⁺¹ × q^n(n+1)/2
• u₀ = 1 ; u₁ = e³ ; u_n+2 = u_n+1 u_n²
  • v_n = ln(u_n) => u_n doit être > 0
    démonstration par récurrence : u₀ et u₁ > 0 ...
  • v₀ = 0 ; v₁ = 3 ; v_n+2 = v_n+1 + 2 v_n
  • v₂ = 3 ; v₃ = 9 ; v₄ = 15 ; v₅ = 33 ; v₆ = 63 ; v₇ = 129 ;
  • v₂ = 4−1 ; v₃ = 8+1 ; v₄ = 16−1 ; v₅ = 32+1 ; v₆ = 64−1 ; v₇ = 128+1 ;
  • v_n = 2ⁿ − (−1)ⁿ
  • Maintenant que l'on connaît l'expression : on peut utiliser la récurrence ...
  • Puis u_n = ...
• Moyenne : x = E(X) = ∑_i f_i x_i   avec ∑_i f_i = 1
• Variance V(X) = &sigma²
  • V(X) = E( [X − E(X)]² ) = ∑_i f_i ( x_i − E(X) )²
  • V(X) = ∑_i f_i ( x_i² − 2 x_i E(X) + E(X)² )
  • V(X) = ∑_i f_i x_i² − 2 ∑_i f_i x_i E(X) + ∑_i f_i E(X)²
  • V(X) = ∑_i f_i x_i² − 2 E(X) ∑_i f_i x_i + E(X)² ∑_i f_i
  • V(X) = ∑_i f_i x_i² − 2 E(X)² + E(X)²
  • V(X) = ∑_i f_i x_i² − E(X)²
  • V(X) = E(X²) − E(X)²
• fonction convexe : dérivée seconde positive ou nulle ( d²y/dx² ≥ 0 )
  ( exemple : parabole y = x² → dy/dx = 2 x → d²y/dx² = 2 )
  • minimum pour dy/dx = 0
  • la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes : f(x) ≥ f(x₀) + ( x − x₀ ) df/dx(x₀)
  • f(x₁) + f(x₂) ≥ f [ (x₁ + x₂)/2 ]
  • (1 − α) f(x₁) + α f(x₂) ≥ f [ (1 − α) x₁ + α x₂ ]
• soit une fonction croissante continue qui va de f(x₁) = a à f(x₂) = b
  alors l'équation f(x) = c avec c appartenant à ] a, b [ a une solution unique α appartenant à l'intervalle ] x₁, x₂ [
• Exemples de calculs à maîtriser :
  • ∫ x^k dx = réponse
  • équation de la tangente à la courbe y = f(x) au point d'abscisse x₀ : réponse
  • intersection de la tangente précédente avec l'axe Ox ? réponse
  • 1 / (k + 3) − (k + 1) / (k + 2)² = réponse

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