Cours du 13 Novembre 2010 Ensembles

• Cardinal d'un ensemble : le nombre de ses éléments
  • E = { 1, 3, −2, i } : Card(E) = 4
• Ensemble des parties de E : P(E) = { sous-ensembles de E }   ensemble des sous-ensembles de E
  • chaque élément de P(E) est un ensemble.
  • Card(P(E)) = 2^Card(E) : pour chaque élément de E : on le prend ou on ne le prend pas
  • E = { a, b, c } => P(E) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, E } qui possède bien 2³ = 8 éléments.

    a abandonné	b abandonné	c abandonné	∅ (ensemble vide)
    a abandonné	b abandonné	c pris	{ c }
    a abandonné	b pris	c abandonné	{ b }
    a abandonné	b pris	c pris	{ b, c }
    a pris	b abandonné	c abandonné	{ a }
    a pris	b abandonné	c pris	{ a, c }
    a pris	b pris	c abandonné	{ a, b }
    a pris	b pris	c pris	{ a, b, c } = E

• relations fondamentales sur les ensembles : Soient A, B, C, D des sous-ensembles de E
  • A inter ∅ = ∅ (ensemble vide)
  • A inter E = A   ( E est un élément neutre pour l'intersection )
  • A union ∅ = A ( ∅ est un élément neutre pour l'union )
  • A union E = E
  • Complément de A = A = { x tels que x n'appartient pas à A }
    • A inter A = ∅ ( ensembles disjoints )
    • A union A = E
  • Complément( Complément( A ) ) = Complément( A ) = A
• Rappel de proba. :
  • Proba( x appartient à A union B ) =
    Proba( x appartient à A ) + Proba( x appartient à B ) − Proba( x appartient à A inter B )
  • Card( A union B ) = Card( A ) + Card( B ) − Card( A inter B )
  • Dans les 2 cas : on retire ( A inter B ) car on l'a compté 2 fois dans ( A ) + ( B )
• un jeu de carte :
  • contient 4 couleurs : pic ♠, coeur ♥, carreau ♦, trèfle ♣
  • Jeu de 32 cartes : 8 valeurs : As=1 , Roi, Dame , Valet, 10, 9, 8, 7
  • Jeu de 52 cartes : 13 valeurs : As=1 , Roi, Dame , Valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2
  • remarque de vocabulaire : les As ne sont pas considérés comme des figures
• propriétés des opérations d'union et d'intersection :
  • distributivité : A union ( B inter C ) = ( A union B ) inter ( A union C )
    x appartient à A ou ( B et C ) = x appartient à ( A ou B ) et ( A ou C )
  • distributivité : A inter ( B union C ) = ( A inter B ) union ( A inter C )
    x appartient à A et ( B ou C ) = x appartient à ( A et B ) ou ( A et C )
  • que l'on vérifie en dessinant des ensembles
• tableau des intersections possibles de 3 ensembles :

  	B		B
  	C	C	C	C
  A	A inter B inter C	A inter B inter C	A inter B inter C	A inter B inter C
  A	A inter B inter C	A inter B inter C	A inter B inter C	A inter B inter C
  E	B inter C	B inter C	B inter C	B inter C

retour aux menus :   cours   accueil