Cours du 18 Décembre 2010 Algèbre linéaire

• Démontrer : ^tA A = 0 => A = 0
  • C = B A <=> c_i,j = ∑_k b_i,k a_k,j
  • B = ^tA <=> b_i,k = a_k,i
  • Soit : c_i,j = ∑_k a_k,i a_k,j
  • Termes diagonaux de C = ^tA A : i = j
  • c_i,i = ∑_k a_k,i a_k,i = ∑_k a_k,i²
  • Pour qu'une somme de termes positifs (ici des carrés) soit nulle, il faut que chaque terme soit nul.
  • Pour chaque i : c_i,i = 0 => a_k,i = 0 pour tout k
  • Donc a_i,j = 0 pour tout (i,j)
  • Remarque 1 : ^tA A est une matrice symétrique : c_i,j = c_j,i = ∑_k a_k,i a_k,j.
  • Remarque 2 : si les termes de la diagonale de ^tA A sont nuls, alors A = 0 : tous les autres termes de ^tA A sont nuls.

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