Cours du 31 Décembre 2010 Algèbre linéaire

• Exercice de probabilités
• calcul avec des matrices comportant beaucoup de fractions :
  sortir le dénominateur commun afin de n'avoir que des produits d'entiers.
  Ne pas le rentrer s'il est déjà sorti !
  Quand on multiplie 2 matrices, on multiplie leur facteur : (1/6) A × (1/6) A = (1/36) A²   ( bilan : 1 produit )
  organisation des calculs sur le brouillon : ( afin de ne pas refaire n fois le même calcul )
  • écrire le calcul afin de le mémoriser et de pouvoir le vérifier facilement
    ( J'ai dû le faire pour certaines annales où il y avait beaucoup de calculs )
  • 4² + 1² + 1² = 18   ( bilan : 3 produits, 2 additions )
  • 4×1 + 1×4 + 1² = 9   ( bilan : 3 produits, 2 additions )
  • bilan : 7 produits, 4 additions ( le moins de calculs, le moins de risque d'erreurs )
    admettons 1 erreur pour 10 calculs   ;   avec une seconde lecture : ∼ 1 erreur pour 100 calculs
  • somme de 2 fractions a/b + c/d : 3 produits (bd, ad, bc) + 1 somme
    comparée à la somme de 2 entiers : 1 somme
• On se déplace sur les 3 sommets d'un triangle :
  • à l'étape n, les probabilité d'être en ( A, B, C ) sont de ( a_n, b_n, c_n )
  • La probabilité de rester sur le même point est de 2/3,
  • Les probabilités d'aller sur un des 2 autres points sont égales. Donc (1/3) à diviser par 2
  • en déduire ( a_n+1, b_n+1, c_n+1 )
  • Arbre des possibilités :

    (En)		(En+1)		P
    En=A	→ 2/3 →	A	En=A inter En+1=A	(2/3) an
    	→ 1/6 →	B	En=A inter En+1=B	(1/6) an
    	→ 1/6 →	C	En=A inter En+1=C	(1/6) an
    En=B	→ 1/6 →	A	En=B inter En+1=A	(1/6) bn
    	→ 2/3 →	B	En=B inter En+1=B	(2/3) bn
    	→ 1/6 →	C	En=B inter En+1=C	(1/6) bn
    En=C	→ 1/6 →	A	En=C inter En+1=A	(1/6) cn
    	→ 1/6 →	B	En=C inter En+1=B	(1/6) cn
    	→ 2/3 →	C	En=C inter En+1=C	(2/3) cn

    D'où : P(E_n+1=A) = P(E_n=A inter E_n+1=A) + P(E_n=B inter E_n+1=A) + P(E_n=C inter E_n+1=A)
    a_n+1 = (2/3) a_n + (1/6) b_n + (1/6) c_n
    de même : b_n+1 = (1/6) a_n + (2/3) b_n + (1/6) c_n
    de même : c_n+1 = (1/6) a_n + (1/6) b_n + (2/3) c_n
• Soit la suite u_n+3 = a u_n+2 + b u_n+1 + c u_n   avec ( u₀, u₁, u₂ ) donnés pour démarrer la récurrence.
  • C'est une suite linéaire d'ordre 3
  • Qui dit suite linéaire dit algèbre linéaire ( ou matrices )
  • Ecriture sous forme d'une suite géométrique ( de vecteurs ) : U_n+1 = A U_n

    (Un+1)		(A)				(Un)
    un+3	=	a	b	c	×	un+2
    un+2		1	0	0		un+1
    un+1		0	1	0		un

  • Qui permettra de calculer : U_n = Aⁿ U₀   donc u_n
    Pour calculer Aⁿ, on le diagonalise : D = P⁻¹ A P
    d'où A = P D P⁻¹ et en conséquence : Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹
• Un voyageur de commerce va voir 5 clients avec une probabilité de vente p = 0,2 constante
  Quelle est la probabilité pour qu'il fasse exactement 2 ventes ?
  • séquence possible : ( V, V, V, V, V ) dont la probalilité est : p² (1−p)³ ( 2 succès , 3 échecs )
  • nombre de séquences analogues possibles : l'ordre des clients qui achètent n'est pas considéré donc : 2 parmi 5
    Soit : 5 × 4 / 2 ( première vente à 1 des 5 clients, deuxième à 1 des 4 restants,
    mais on a compté 2 fois chaque couple d'acheteur )
  • Loi Binomiale(5, p) : P(k Ventes) = (k parmi 5) p^k (1−p)^5−k
  • Si l'on somme toutes les probabilités : ∑_k=0^k=5 P(k Ventes) = [ p + (1−p) ]⁵ = 1⁵ = 1

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