Cours du 22 Janvier 2011 Devoir maison pour chacun

• Exercice 3 : Un campeur dispose de n allumettes pour allumer son réchaud.
  Chaque allumette a la probabilité p que le vent l'éteigne avant que le réchaud soit allumé.
  On note X la variable aléatoire donnant le nombre d'allumettes éteintes par le vent.
  • Comprendre le problème : arbre   Notations : V = "le vent éteint l'allumette" et R = "le campeur allume le réchaud"

    allumette 1	allumette 2	allumette 3	allumette 4
    --- p ---> V	--- p ---> V	--- p ---> V	--- p ---> V	P(R) = p4
    			--- (1−p) ---> V	P(R) = p3 (1−p)
    		--- (1−p) ---> V		P(R) = p2 (1−p)
    	--- (1−p) ---> V			P(R) = p (1−p)
    --- (1−p) ---> V				P(R) = 1−p

    C'est une loi géométrique qui s'arrête prématurément à n au lieu de continuer jusqu'à l'infini.
  • Déterminer la loi de X
    • X = 0 : le campeur a allumé son réchaud avec la première allumette
    • X = 1 : le vent a éteint la première allumette et le campeur a allumé son réchaud avec la seconde allumette
    • P(X=0) = 1 − p
    • P(X=1) = p (1 − p)
    • P(X=2) = p² (1 − p)
    • P(X=n−1) = pⁿ⁻¹ (1 − p)
    • P(X=n) = pⁿ
  • Donner l'espérance et la variance de X
    • E(X) = ∑_k=0ⁿ⁻¹ k p^k (1 − p) + n pⁿ
    • Evaluation de : ∑_k=0ⁿ⁻¹ k p^k (difficile : pas du niveau HEC eco )
      ( loi géométrique jusqu'à l'infini beaucoup plus facile : pas de termes xⁿ )
      • On part de : S(x) = ∑_k=0ⁿ⁻¹ x^k = ( 1 − xⁿ ) / ( 1 − x )
      • Que l'on dérive : S'(x) = ∑_k=0ⁿ⁻¹ k x^k−1 = ( (n−1) xⁿ − n xⁿ⁻¹ + 1 ) / ( 1 − x )²
      • Que l'on multiplie par x : x S'(x) = ∑_k=0ⁿ⁻¹ k x^k = x ( (n−1) xⁿ − n xⁿ⁻¹ + 1 ) / ( 1 − x )²
    • E(X) = (1 − p) ( p S'(p) ) + n pⁿ
      E(X) = [ p ( (n−1) pⁿ − n pⁿ⁻¹ + 1 ) / ( 1 − p ) ] + n pⁿ
      E(X) = [ (n−1) pⁿ⁺¹ − n pⁿ + p + n pⁿ − n pⁿ⁺¹ ] / ( 1 − p )
      E(X) = [ − pⁿ⁺¹ + p ] / ( 1 − p )
      E(X) = p ( 1 − pⁿ ) / ( 1 − p )
    • V(X) = .. encore un peu plus difficile
  • Donner la loi de X sachant que le campeur a réussi à allumer son réchaud.
    • R = (X=0) UNION (X=1) UNION ... UNION (X=n−1) = (X=n)
    • P(R) = ∑_k=0ⁿ⁻¹ p^k (1 − p) = 1 − pⁿ
    • proba. conditionnelle : P_R(X=k) = P(X=k) / P(R)
    • P_R(X=k) = p^k (1 − p) / ( 1 − pⁿ )

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