Cours du 06 Mars 2011

• Inégalité des accroissements finis ( intégration d'une inéquation sur le segment [a ; b] ) :
  • m < f '(x) < M ( pour x dans [a ; b] ) => m (b − a) < f(b) − f(a) < M (b − a)
  • Application : l'encadrement de la dérivée donne un encadrement de la fonction :
    • f(a) + m (b − a) < f(b) < f(a) + M (b − a)
    • si m et M tendent vers une limite commune L :
      f(b) → f(a) + L (b − a)
    • Ce qui équivaut à un développement limité à l'ordre 1 :
      f(b) = f(a) + f '(a) (b − a) + (b − a)² K
• limite quand x → 0 de ln ( ( e^x − 1 ) / x ) = ?
  La dérivée de g(x) = e^x est g'(x) = e^x
  • Soit un encadrement de x : 0 < x ≤ ε
    • Comme e^x est croissante : e⁰ < e^x ≤ e^ε
    • Soit : 1 < g'(x) ≤ e^ε
    • D'après l'inégalité des accroissements finis : x − 0 < g(x) − g(0) ≤ e^ε ( x − 0 )
    • Comme x > 0 : 1 < ( g(x) − g(0) ) / x ≤ e^ε
    • ou : 1 < ( e^x − 1 ) / x ≤ e^ε
    • Quand on fait tendre ε vers 0 : ( e^x − 1 ) / x → 1
  • Soit un encadrement de x : −ε ≤ x < 0
    • Comme e^x est croissante : e^−ε ≤ e^x < 1
    • D'après l'inégalité des accroissements finis : e^−ε ( 0 − x ) ≤ 1 − e^x < ( 0 − x )
    • Comme −x > 0 : e^−ε ≤ ( e^x − 1 ) / x < 1
    • Quand on fait tendre ε vers 0 : ( e^x − 1 ) / x → 1
  • Remarque : Cette méthode revient à faire un développement limité à l'ordre 1 :
    g(x) = g(0) + (x − 0) g'(0) + o(x − 0)
    e^x = 1 + x + o(x)

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