Cours du 23 Avril 2011

• D.M. : traduction de l'énoncé :

  états n	proba. conditionnelle	états n+1	proba.
  an	→1/3→	an+1	an / 3
  	→2/3→	bn+1	2 an / 3
  bn	→1/4→	an+1	bn / 4
  	→1/2→	bn+1	bn / 2
  	→1/4→	sn+1	bn / 4
  sn	→1→	sn+1	sn

  Collecte des différentes voies possibles (proba. totales) :
  • pour arriver à a_n+1 : P(a_n+1) = a_n+1 = a_n / 3 + b_n / 4
  • de même : b_n+1 = 2 a_n / 3 + b_n / 2     ( On remarque : b_n+1 = 2 a_n+1 )
  • et enfin : s_n+1 = b_n / 4 + s_n
• état 0 (initial) : abeille en A à 100% : a₀ = 1 ; b₀ = 0 ; s₀ = 0
• état 1 :
  • a₁ = a₀ / 3 + b₀ / 4 = 1 / 3
  • b₁ = 2 a₀ / 3 + b₀ / 2 = 2 / 3
  • s₁ = b₀ / 4 + s₀ = 0
  • vérification : a₁ + b₁ + s₁ = 3/3 = 1
• état 2 :
  • a₂ = a₁ / 3 + b₁ / 4 = 1 / 9 + 1 / 6 = 5 / 18
  • b₂ = 2 a₁ / 3 + b₁ / 2 = 2 / 9 + 1 / 3 = 5 / 9
  • s₂ = b₁ / 4 + s₁ = 1 / 6 + 0 = 1 / 6
  • vérification : a₂ + b₂ + s₂ = 18/18 = 1
• démonstration de : 2 a_n − b_n = 0
  • vérification pour l'état initial :
    • 2 a₀ − b₀ = 2 : Faux, la récursion ne peut pas démarrer de n = 0
    • 2 a₁ − b₁ = 0 : Vrai, la récursion démarre de n = 1
  • si 2 a_n − b_n = 0
  • alors : 2 a_n+1 − b_n+1 = 2 ( a_n / 3 + b_n / 4 ) − ( 2 a_n / 3 + b_n / 2 )
  • 2 a_n+1 − b_n+1 = a_n ( 2 / 3 − 2 / 3 ) + b_n ( 2 / 4 − 1 / 2 ) = 0
  • Donc : 2 a_n − b_n = 0 est vraie à partir de n = 1
• Définition : v_n = 4/10 a_n + 3/10 b_n
  • v_n+1 = 4/10 a_n+1 + 3/10 b_n+1
  • v_n+1 = 4/10 ( a_n / 3 + b_n / 4 ) + 3/10 ( 2 a_n / 3 + b_n / 2 )
  • v_n+1 = a_n ( 4 / 30 + 2 / 10 ) + b_n ( 1 / 10 + 3 / 20 )
  • v_n+1 = a_n ( 4 / 30 + 6 / 30 ) + b_n ( 2 / 20 + 3 / 20 )
  • v_n+1 = a_n ( 10 / 30 ) + b_n ( 5 / 20 )
  • v_n+1 = a_n ( 1 / 3 ) + b_n ( 1 / 4 )
  • essayons de faire apparaître v_n = 4/10 a_n + 3/10 b_n = ( 4 a_n + 3 b_n ) / 10
  • v_n+1 = ( 4 a_n + 3 b_n ) / 12
  • ( 4 a_n + 3 b_n ) = 10 v_n
  • v_n+1 = 10 v_n / 12 = 5/6 v_n
  • suite géométrique de raison 5/6 : v_n = v₀ (5/6)ⁿ
  • démarrage de la suite :
    • v₀ = 4/10 a₀ + 3/10 b₀ = 4/10
    • v₁ = 4/10 a₁ + 3/10 b₁ = 1/3 On a : v₁ / v₀ = 1/3 × 10/4 = 5/6
    • v₂ = 4/10 a₂ + 3/10 b₂ = 5/18 On a : v₂ / v₁ = 5/18 × 3 = 5/6
  • v_n = (2/5) × (5/6)ⁿ
• v_n = ( 4 a_n + 3 b_n ) / 10 = (2/5) × (5/6)ⁿ
  • Or on sait : 2 a_n − b_n = 0 pour n ≥ 1
  • sytème à résoudre : b_n = 2 a_n
  • ( 4 a_n + 6 a_n ) / 10 = (2/5) × (5/6)ⁿ
  • a_n = (2/5) × (5/6)ⁿ     ( attention : pour n ≥ 1 )
  • b_n = 2 a_n = (4/5) × (5/6)ⁿ
• s_n = 1 − a_n − b_n
  s_n = 1 − (2/5) × (5/6)ⁿ − (4/5) × (5/6)ⁿ
  s_n = 1 − (6/5) × (5/6)ⁿ = 1 − (5/6)ⁿ⁻¹
• limite quand n → ∞ de (5/6)ⁿ = 0
  donc : limite quand n → ∞ de s_n = 1

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