Cours du 15 octobre 2011

• devoir maison proba.
  • Jeu de 32 cartes : 4 couleurs (♠ ♥ ♦ ♣) × 8 valeurs (7 8 9 10 Valet Dame Roi As)
    • pour 1 tirage : P(♠) = 8 / 32 = 1 / 4
    • pour 1 tirage : P(10) = 4 / 32 = 1 / 8
    • dans une main de 5 cartes : P(k ♠) = (k parmi 8) × (5−k parmi 32−8) / (5 parmi 32)     avec k dans [[0;5]]
      • Il faut k ♠ tirés parmi les 8 ♠ du jeu
      • Les (5−k) autres cartes ne doivent pas être des ♠ : Il faut (5−k) ♠ tirés parmi les 24 ♠ du jeu
      • le nombre de mains possibles est (5 parmi 32)
      • C'est la loi Hypergéométrique :
        tirage de n=5 objets sans remise, ♠ ou ♠, dans une population finie (N=32)
  • P(A union B) = P(A) + P(B) − P(A inter B)
    • P(♠ ou 10) : il y a une intersection : le 10 de ♠
    • P(♠ ou 10) = 8/32 + 4/32 − 1/32 = 11/32
  • P(A union B union C) = P(A) + P(B) + P(C)
                − P(A inter B) − P(A inter C) − P(B inter C)
                + P(A inter B inter C)
  • P(A union B union C union D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)
                − P(A inter B) − P(A inter C) − P(A inter D) − P(B inter C) − P(B inter D) − P(C inter D)
                + P(A inter B inter C) + P(A inter B inter D) + P(A inter C inter D) + P(B inter C inter D)
                − P(A inter B inter C inter D)
    Alternance des signes, nombre de termes à k intersections : (k parmi 4)
  • P(A union B union C union D) = 1 − P(A inter B inter C inter D)
  • si X est dans [[0;4]] : P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1 − P(X = 3) + P(X = 4)
• développements limités : de f(x) au voisinage de a : V(a)
  • développement en fonction de (x − a)
  • approximation d'ordre 0 : horizontale y = f(a) car f(x) = f(a) + ε(x−a)
  • approximation d'ordre 1 : tangente y = f(a) + (x−a) f '(a)
    car f(x) = f(a) + (x−a) f '(a) + ε((x−a)²)
  • approximation d'ordre 2 : parabole y = f(a) + (x−a) f '(a) + (x−a)² f ''(a) / 2
    car f(x) = f(a) + (x−a) f '(a) + (x−a)² f ''(a) / 2 + ε((x−a)³)
    donne la position de la courbe par rapport à la tangente :
    • au-dessus si f ''(a) > 0 (courbe convexe)
    • au-dessous si f ''(a) < 0 (courbe concave)
    • si f ''(a) = 0 : point d'inflexion
  • formule générale :
    • f(x) = (x−a)⁰ f(a) / 0! + (x−a)¹ f '(a) / 1! + (x−a)² f ''(a) / 2! + .... + (x−a)^k f^(k)(a) / k! + ....
    • f(x) = ∑_k=0^k=n (x−a)^k f^(k)(a) / k! + ε((x−a)^k+1)
    • majoration du reste quand le développement se termine à n
      formule de Taylor avec reste intégral : f(x) = ∑_k=0^k=n (x−a)^k f^(k)(a) / k! + ∫_a^x (x−t)ⁿ f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) / n! dt
      majoration du reste : ∫_a^x (x−t)ⁿ f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) / n! dt ≤ (x−a)ⁿ⁺¹ M_[a;b](f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)) / (n+1)!
• encadrement d'une intégrale par une série : Soit une fonction f(x) décroissante
  • f(k+1) ≤ ∫_k^k+1 f(x) dx ≤ f(k)     ( en effet, d'après le théorème de la moyenne : ∫_k^k+1 f(x) dx = f(ξ) avec k ≤ ξ ≤ k+1 )
  • ∑_k=a+1^k=b f(k) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∑_k=a^k=b−1 f(k)
  • Sur un dessin : le rectangle de base [a;a+1] et de hauteur f(a+1) ≤ ∫_a^a+1 f(x) dx
    car f(a+1) ≤ f(x) sur [a;a+1] ( f(x) décroissante )
  • Inversement, le rectangle de base [b−1;b] et de hauteur f(b−1) ≥ ∫_b−1^b f(x) dx
    car f(b−1) ≥ f(x) sur [b−1;b] ( f(x) décroissante )
• encadrement d'une série par une intégrale : Soit une fonction f(x) décroissante
  • ∫_a^b+1 f(x) dx ≤ ∑_k=a^k=b f(k) ≤ ∫_a−1^b f(x) dx

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