Cours du 18 décembre 2011

• Loi Z = X + Y
  • Loi de X : valeurs X(Ω_X) = [[ a, b ]] avec la proba P(X=k) pour k dans [[ a, b ]]
  • Loi de Y : valeurs Y(Ω_Y) = [[ c, d ]] avec la proba P(Y=k) pour k dans [[ c, d ]]
  • Valeurs possibles de Z : minimum = a + c, maximum = b + d comme les intervalles sont complets, leur somme donne toutes les valeurs comprises entre le minimum et le maximum.
    Z(Ω_Z) = [[ a + c, b + d ]]
  • Loi P(Z) :
    • P(Z = a + c) : 1 seul cas possible :
      • (Z = a + c) = (X = a) INTER (Y = c)
      • P(Z = a + c) = P(X = a) × P(Y = c)
    • P(Z = a + c + 1) : 2 cas possibles :
      • (Z = a + c + 1) = [ (X = a + 1) INTER (Y = c) ] UNION [ (X = a) INTER (Y = c + 1) ]
      • P(Z = a + c + 1) = P(X = a + 1) × P(Y = c) + P(X = a) × P(Y = c + 1)
    • P(Z = a + c + 2) : 3 cas possibles :
      • (Z = a + c + 2) = [ (X = a + 2) INTER (Y = c) ] UNION [ (X = a + 1) INTER (Y = c + 1) ] UNION [ (X = a) INTER (Y = c + 2) ]
      • P(Z = a + c + 2) = P(X = a + 2) × P(Y = c) + P(X = a + 1) × P(Y = c + 1) + P(X = a) × P(Y = c + 2)
  • La loi P(Z) peut être assez compliquée par contre son espérance et sa variance sont faciles à calculer :
    • E(Z) = E(X) + E(Y)
      on a aussi : E(a X + b) = a E(X) + b
    • Si les variables X et Y sont indépendantes : V(Z) = V(X) + V(Y)
      on a aussi : V(a X + b) = a² V(X)
  • Exemple 1 :
    • X = résultat d'un lancer de dé : X(Ω_X) = [[ 1, 6 ]] : P(X=k) = 1/6 uniforme
    • Y = résultat d'un lancer de dé : Y(Ω_Y) = [[ 1, 6 ]] : P(X=k) = 1/6 uniforme
    • Z = X + Y : Z(Ω_Z) = [[ 2, 12 ]]

      k	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
      P(X=k)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

  • Exemple 2 : X_i = jeux indépendants de même loi :

    k	0	1	2
    P(Xi=k)	15/36	15/36	6/36

    • cumul Y = ∑_i X_i
    • Premier tirage ou le cumul Y₂ atteint ou dépasse 2, cas possibles :
    • { 2 } : atteint dès le premier tirage (Y₂ = 1)
    • { 0, 2 } ou { 1, 1 } ou { 1, 2} : atteint au deuxième tirage (Y₂ = 2)
    • { 0, 0, 2 } ou { 0, 1, 1 } ou { 0, 1, 2} ou { 1, 0, 1 } ou { 1, 0, 2 } : atteint au troisième tirage (Y₂ = 3)
    • règle générale pour : Y₂ = n
      • (n−1) premiers tirages à 0, puis le n^ième tirage à 2
        => P(X=0)ⁿ⁻¹ × P(X=2)
      • un des (n−1) premiers tirages à 1, les (n−2) autres tirages à 0, puis le n^ième tirage à 1 ou 2
        => (n−1) P(X=1) P(X=0)ⁿ⁻² × ( P(X=1) + P(X=2) )
      • Soit en aditionnant les deux :
        P(Y₂ = n) = P(X=0)ⁿ⁻¹ P(X=2) + (n−1) P(X=0)ⁿ⁻² P(X=1) ( P(X=1) + P(X=2) )
• Proba. Lois définies par récurrence :
  • Loi Géométrique :
    • P(X=1) = p
    • (X=k) = (premier tirage à 0) puis (X=k−1)   d'où : P(X=k) = q × P(X=k−1)
• Equation du second degré : a x² + b x + c = 0
  • x² + (b/a) x + (c/a) = 0
  • somme des racines : r₁ + r₂ = − b/a
  • produit des racines : r₁ × r₂ = c/a
  • car : x² + (b/a) x + (c/a) = ( x − r₁ ) × ( x − r₂ ) = 0
  • en développant = x² − (r₁ + r₂) x + (r₁ × r₂) puis en identifiant termes à termes.
  • que l'on retient sous la forme : x² − S x + P = 0

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