• pour x → ∞ f(t) → 0
• f(t) → +∞ pour (1+t)=0 soit t = −1 hors de ] 0 ; +∞ [
• point de raccordement : pour t = 0 : f(0) = 0 à gauche et f(0) = 1 à droite : courbe discontinue

• α / (1+α) = 1/2
• 2 α = 1 + α
• α = 1

• 4.a) φ_x(0) = ∫_x^x f(t) dt = 0
• 4.a) φ_x(+∞) = ∫_−∞⁰ 0 dt + ∫₀^+∞ 1/(1+t)² dt = [ −1/(1+t) ]₀^+∞ = 0 − (−1) = 1
• 4.b) u < v :
  • => x − u > x − v
  • => x + u < x + v
  • φ_x(v) = ∫_x−v^x+v f(t) dt = ∫_x−v^x−u f(t) dt + ∫_x−u^x+u f(t) dt + ∫_x+u^x+v f(t) dt
    φ_x(v) = ∫_x−v^x−u f(t) dt + φ_x(u) + ∫_x+u^x+v f(t) dt
  • chaque intégrale étant ≥ 0 : φ_x(v) ≥ φ_x(u) + ∫_x+u^x+v f(t) dt
  • en particulier : u < v => φ_x(u) < φ_x(v) car ∫_x+u^x+v f(t) dt > 0
  • donc φ_x(u) est une fonction croissante de u
• 4.c) φ_x(0) = 0 et φ_x(+∞) = 1 et φ_x croissante : φ_x est donc une bijection de [ 0 ; +∞ [ sur [ 0 ; 1 [
  • φ_x(u) prend la valeur 1/2 pour une valeur unique u dans [ 0 ; +∞ [

• 5.a) x < 1/2 : U(x) = 1−x :
  • ∫_x−U(x)^x+U(x) f(t) dt = ∫_2x−1¹ f(t) dt
  • position de 2x−1 par rapport à 0 : 2 x < 1   => 2x− 1 < 0
  • ∫_x−U(x)^x+U(x) f(t) dt = ∫_2x−1⁰ f(t) dt + ∫₀¹ f(t) dt = 0 + 1/2 = 1/2
• 5.b) x ≥ 1/2 : φ_x(x) = ∫₀^2x f(t) dt
  • position de 2x par rapport à 1 : 2 x ≥ 1
  • φ_x(x) = ∫₀¹ f(t) dt + ∫₁^2x f(t) dt ≥ ∫₀¹ f(t) dt = 1/2
    car f(t) > 0 => ∫₁^2x f(t) dt ≥ 0
  • φ_x(u) est une fonction croissante de u
    • φ_x(U(x)) = 1/2
    • φ_x(x) ≥ 1/2
    • φ_x(U(x)) ≤ φ_x(x) => U(x) ≤ x
    • x − U(x) ≥ 0
  • φ_x(U(x)) = 1/2 = ∫_x−U(x)^x+U(x) 1/(1+t)² dt
    • [−1 / (1+t)]_x−U(x)^x+U(x) = 1/2
    • [−1 / (1+x+U(x))] − [−1 / (1+x−U(x))] = 1/2
    • [−1 / (1+x+U(x))] + [1 / (1+x−U(x))] = 1/2
    • [−(1+x−U(x)) + (1+x+U(x))] / [ (1+x)² − U(x)² ] = 1/2
    • 2 U(x) / [ (1+x)² − U(x)² ] = 1/2
    • 4 U(x) = (1+x)² − U(x)²
    • U(x)² + 4 U(x) − (1+x)² = 0
    • (U(x) + 2)² − 4 − (1+x)² = 0
    • U(x) + 2 = ± √ ( 4 + (1+x)² )
    • U(x) = ± √ ( 4 + (1+x)² ) − 2
    • Mais on doit garder la racine positive car U(x) est définie sur [0;+∞[
    • U(x) = √ ( 4 + (1+x)² ) − 2
• 6.a) U(x) = 1−x est continue sur [0;1/2[
  • U(x) = √ ( 4 + (1+x)² ) − 2 est continue sur ]1/2;+∞[
  • pour x=1/2 : U(x) = 1−x = 1/2 à gauche
  • pour x=1/2 : U(x) = √ ( 4 + (1+x)² ) − 2 = √ 4 + (9/4) − 2 = √ (16 + 9) / 4 − 2 = 5/2 − 2 = 1/2 à droite
  • U(x) est continue sur [0;+∞[
• 6.b) U(x) = 1−x est dérivable sur [0;1/2[
• pour x=1/2 : U(x) = √ ( 4 + (1+x)² ) − 2 est dérivable sur ]1/2;+∞[
• pour x=1/2 : U'(x) = −1 à gauche
• pour x=1/2 : U'(x) = 2(x+1) / [ 2 √ ( 4 + (1+x)² ) ] = (3/2) / [ √ ( 4 + (3/2)² ) ] = (3/2) / [ √ 4 + (9/4) ]
• U'(1/2) = (3/2) / (5/2) = 3/5 à droite
• U'(x) n'est pas dérivable en x=1/2

• en multipliant par l'expression conjuguée :
• pour x → +∞ : limite U(x) − (x − 1) = limite [ 4 + (1+x)² − (x + 1)² ] / [ √ ( 4 + (1+x)² ) + (x + 1) ]
• limite U(x) − (x − 1) = 4 / [ √ ( 4 + (1+x)² ) + (x + 1) ] = 0
• U(x) → (x − 1) par valeur supérieures.

• U(0) = 1 puis droite y = 1−x de pente −1 jusqu'à U(1/2)=1/2
• changement de pente : 3/5 puis rapprochement de l'asymptote y = x−1 par au-dessus.

• d'après 6.b) U'(x) > 0 => U(x) est croissante sur [1/2;+∞[ donc U(x) > U(1/2) = 1/2
• si a_n > 1/2
  alors : a_n+1 = U(a_n) > 1/2
• la suite a_n est toujours au-dessus de 1/2

• si a_n > 1/2
  alors : a_n+1 = U(a_n) ≤ a_n d'après 5.b)
• la suite a_n est décroissante

• Points fixes dans [1/2;1] : U(x) = √ ( 4 + (1+x)² ) − 2 = x
• √ ( 4 + (1+x)² ) = x + 2
• 4 + (1+x)² = (x + 2)²
• 4 + 1 + 2x + x² = x² + 4 x + 4
• 1 + 2x = 4 x
• 1 = 2 x
• x = 1/2 unique point fixe dans l'intervalle : a_n converge vers 1/2

      PROGRAM eps
      VAR a : REAL ; n : INTEGER ;
      BEGIN
        a := 1 ; n := 0 ;
        WHILE a − 1/2 > 1.e−6 DO
        BEGIN
          a := SQRT(4 + (a+1)*(a+1)) − 2 ;
          n := n + 1 ;
        END
        WRITELN(n) ;
      END.