Cours du 04 Février 2012

• Changement de variable aléatoire linéaire : Y = φ(X) = a X + b :
      La densité de Y est g(y) = (1 / |a| ) f( (y − b) / a )
  • démonstration avec a > 0 : ω → X(ω) → Y(ω) = φ(X(ω)) = a X(ω) + b
  • la "proba. de ω" est toujours la même
  • P( Y(ω) < y ) = F_Y(y) = ∫_−∞^y g(t) dt
    • Y(ω) < y <=> a X(ω) + b < y
    • avec a > 0 : soit X(ω) < ( y − b ) / a
  • P( Y(ω) < y ) = P( X(ω) < ( y − b ) / a ) = F_X(( y − b ) / a ) = ∫_−∞^{( y − b ) / a} f(t) dt
  • on a les trois manières de relier X et Y :
    • P( Y(ω) < y ) = P( X(ω) < ( y − b ) / a )
    • ... = F_Y(y) = F_X(( y − b ) / a )
    • ... = ∫_−∞^y g(t) dt = ∫_−∞^{( y − b ) / a} f(t) dt
  • Dérivons F pour obtenir la densité :
    • g(y) = d/dy F_Y(Y < y)
    • g(y) = d/dx F_X(( y − b ) / a ) × dx/dy     avec x = ( y − b ) / a donc dx/dy = 1/a
    • en remplaçant : g(y) = d/dx F_X(x) × dx/dy = f(x) × (1/a) = ( 1 / |a| ) f(( y − b ) / a)
  • autre Méthode : dans l'intégrale, on peut faire le changement de variable : t = ( u − b ) / a
    • dt = du / a   ;   u(−∞) = −∞ ( car a > 0 )   ;   u( y − b ) / a ) = x
    • P( Y(ω) < y ) = ∫_−∞^{( y − b ) / a} f(t) dt = ∫_−∞^x f(( u − b ) / a) du / a
• DM, dernier exercice :
  • définition de la médiane : F( X ≤ m ) = F( X ≥ m ) = 1/2 = ∫_−∞^m f(t) dt = ∫_m^+∞ f(t) dt
  • on avait :
    • V(X) ≥ ∫_m^∞ ( t − E(X) )² f(t) dt     ( où t ≥ m )
      • ( t − E(X) ) ≥ ( m − E(X) )
      • dans le cas m ≥ E(X) : t ≥ m ≥ E(X)
      • t − E(X) ≥ 0   et   m − E(X) ≥ 0
        on peut élever au carré en gardant l'ordre ( car : x² est croissante sur ] 0 ; +∞ [ )
      • ( t − E(X) )² ≥ ( m − E(X) )²
      • V(X) ≥ ∫_m^∞ ( m − E(X) )² f(t) dt
      • V(X) ≥ ( m − E(X) )² ∫_m^∞ f(t) dt
      • V(X) ≥ ( m − E(X) )² × (1/2)
    • V(X) ≥ ∫₀^m ( t − E(X) )² f(t) dt     ( où t ≤ m )
      • ( t − E(X) ) ≤ ( m − E(X) )
      • dans le cas m ≤ E(X) : t ≤ m ≤ E(X)
      • t − E(X) ≤ 0   et   m − E(X) ≤ 0
        on peut élever au carré en inversant l'ordre ( car : x² est décroissante sur ] −∞ ; 0 [ )
      • ( t − E(X) )² ≥ ( m − E(X) )²
      • V(X) ≥ ∫₀^m ( m − E(X) )² f(t) dt
      • V(X) ≥ ( m − E(X) )² ∫₀^m f(t) dt
      • V(X) ≥ ( m − E(X) )² × (1/2)

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