• Méthode 1 : − 3 ln(10) > (n+1) (−ln(2))
  3 ln(10) < (n+1) ln(2)
  n > 3 ln(10) / ln(2) − 1
  => n = Partie Entière( 3 ln(10) / ln(2) ) ( à calculer par le programme )
• Méthode 2 : Mais on sait que 2¹⁰ = 1024 => (1/2)¹⁰ = 1/1024 < 10⁻³ donc n = 9

program suite1 ;
var n, nmax : integer ; u : real ;  (déclaration des variables) 
begin
   nmax = int( 3 * ln(10) / ln(2) ) ;  (int : conversion d'un real en integer)
   u := 2 ;  (u0) 
   for n := 1 to nmax do
      u := exp(u) / ( exp(2 * u) + 1 ) ;  (u1, ..., unmax) 
   writeln( u )  (unmax) 
end.

program suite2 ;
var n : integer ; u : real ;
begin
   u := 2 ;
   for n := 1 to 9 do
      u := exp(u) / ( exp(2 * u) + 1 )
   writeln( u )
end.

• tels que : f(I) = J inclus dans I et u₀ appartient à I
• récurrence : si u_n appartient à I => u_n+1 = f(u_n) appartient à I
• donc tous les termes de la suite (u_n) appartiennent à I
• → il suffira de montrer que f ' > 0 ou |f '| < 1 ... sur l'intervalle I

• Les points fixes sont les intersections de la droite (y = x) avec la courbe C_f

• soit : u₁ > u₀
  récurrence : si u_n > u_n−1 => u_n+1 = f(u_n) > f(u_n−1) = u_n
  la suite (u_n) est croissante pour tout n.
• soit : u₁ < u₀
  récurrence : si u_n < u_n−1 => u_n+1 = f(u_n) < f(u_n−1) = u_n
  la suite (u_n) est décroissante pour tout n.

• si f(x) > x => u_n+1 = f(u_n) > u_n : la suite (u_n) est croissante.
• si f(x) < x => u_n+1 = f(u_n) < u_n : la suite (u_n) est décroissante.

• Soit : u₀ < L
  récurrence : si u_n < L => u_n+1 = f(u_n) < f(L) = L
  La suite (u_n) est majorée par L
• Soit : u₀ > L
  récurrence : si u_n > L => u_n+1 = f(u_n) > f(L) = L
  La suite (u_n) est minorée par L

• Une suite croissante majorée converge (vers un point fixe ≤ au majorant)
• Une suite décroissante minorée converge (vers un point fixe ≥ au minorant)
• Une suite dont |f '| ≤ α < 1 sur I converge
  • récurrence : si |u_n − L| ≤ αⁿ |u₀ − L| => |u_n+1 − L| = |f(u_n) − f(L)| = |f '(c)| × |u_n − L|
    (Th. des accroissements finis) Il existe "c" entre u_n et L.
    Mais |f '(c)| ≤ α => |u_n+1 − L| ≤ α |u_n − L| = αⁿ⁺¹ |u₀ − L|
  • Limite de αⁿ⁺¹ = 0 quand n → ∞ puisque α < 1
    Par le Th. de l'encadrement : |u_n − L| → 0 => la suite (u_n) converge vers L